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\title{Second degré, cours, première spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Second degré, cours, classe de première spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Equations du second degré}
\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem On appelle fonction \emphref{polynôme du second degré} toute fonction $f$ qui s'écrit pour tout réel $x$, $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $a\neq 0$.
\nouvitem Toute solution de l'équation $ax^2+bx+c=0$ est appelée \emphref{racine du trinôme} $ax^2+bx+c$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Pour toute fonction \emph{polynôme du second degré} $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,\qquad b,\qquad c\in \mathbb{R}$ et $a\neq 0$, on a :
$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$
où
$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$
et
$$\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$
Cette écriture est appelée \emphref{forme canonique} de la fonction $f$.\\
On appelle \emphref{discriminant} du trinôme le réel $\Delta$ défini par $$\Delta=b^2-4ac$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
On a :
\begin{align*}
f(x) &=ax^2+bx+c\\
 &=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\
 &=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})\\
 &=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2})\\
 &=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2})\\
 &=a(x-(-\frac{b}{2a}))^2-\frac{b^2-4ac}{4a})\\
 \end{align*}
 \end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
2 est une racine de $2x^2-5x+2$.\\
Le discriminant du trinôme $2x^2-5x+2$ est $\delta=5^2-4\times 2\times 2=25-16=9$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Ordonner les termes du trinôme avant de calculer le discriminant.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant du trinôme du second degré $ax^2+bx+c$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\Delta <0$, alors l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a pas de solution réelle.
\nouvitem Si $\Delta =0$, alors l'équation $ax^2+bx+c=0$ a une unique solution réelle dite racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$.
\nouvitem Si $\Delta >0$, alors l'équation $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions réelles distinctes $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a vu auparavant que $f(x)=a((x-\alpha)^2+\beta)$ où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a^2}$.

On a $f(x)=0$ qui s'écrit encore puisque $a\neq 0$, $(x-\alpha)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$

Donc $(x-\alpha)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$.

On reconnaît le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
\begin{itemize}
\nouvitem si $\Delta <0$, comme le premier membre $(x-\alpha )^2$ est nécessairement positif, l'équation n'a pas de solution ;
\nouvitem si $\Delta = 0$, l'équation s'écrit $(x-\alpha)^2=0$ donc $x=\alpha=-\frac{b}{2a}$ est l'unique solution ;
\nouvitem si $\Delta > 0$, l'équation donne $x+\frac{b}{2a}=\sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}$ ou $x+\frac{b}{2a}=-\sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}$ donc $x=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{\sqrt{4a^2}}$ ou $x=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{\sqrt{4a^2}}$ d'où les deux solutions $x_1$ et $x_2$ en simplifiant.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir résoudre une équation du second degré]}
On considère l'équation $2x^2-5x+2=0$.\\
On a vu que $\Delta=9=3^2$ est positif.\\
Il y a donc deux solutions à cette équation :\\
$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2\times 2}=2$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2\times 2}=\frac{1}{2}$.
\end{sanscadre}



\newpage



\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de résolution des équations du second degré c'est  à dire de l'équation $ax^2+bx+c=0$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$a$, $b$, $c$\\}
\Traitement{
$\Delta \leftarrow b^2-4ac$;\\
\Si{$\Delta<0$}{ "Pas de solution réelle"}
\Si{$\Delta=0$}{$x_0 \leftarrow \frac{-b}{2a}$;\\
"Une unique solution ",$x_0$; }
\Si{$\Delta>0$}{$x_1 \leftarrow \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$;\\
$x_2 \leftarrow \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$;\\
Afficher "Deux solutions réelles distinctes",$x_0$," et ",$x_1$; }
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def secondDegre(a,b,c):
	d=b**2-4*a*c
	if d<0:
		return none
	if d==0:
		return -b/(2*a)
	if d>0:
		return (-b+math.sqrt(d))/(2*a),(-b-maths.sqrt(d))/(2*a)
\end{lstlisting}
Attention : cette implémentation de l'algorithme peut être mise en défaut lors du test de l'égalité en raison de limitation dans le codage des nombres réels dans les langages de programmation. Pour pallier à ce problème, on préfère tester l'égalité à une précision $e$ près (par exemple 0,000001) en utilisant la fonction ci-dessous plutôt que le \og{}==\fg{}.
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def testeEgalite(x,y,e):
	return math.abs(x-y)<e
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}


\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Propriété}
Avec les mêmes notations que précédemment, $f(x)=ax^2+bx+c$ admet pour factorisation :
\begin{itemize}
\nouvitem si $\Delta = 0$, $f(x)=a(x-x_0)^2$ où $x_0$ est la racine double du trinôme ;
\nouvitem si $\Delta > 0$, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines distinctes du trinôme.
\nouvitem si $\Delta < 0$, $f(x)$ n'admet pas de factorisation dans $\mathbb{R}$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a vu précédemment que $f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2})$. 
\begin{itemize}
 \nouvitem Si $\Delta =0$, on a donc $f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2)$ ce qui est bien la factorisation attendue ;
\nouvitem si $\Delta > 0$, on a $a(x-x_1)(x-x_2)=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)$ pour tout $x$ réel.\\
Or $x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}$.\\
En outre, $x_1x_2=\frac{1}{4a^2}(-b+\sqrt{\Delta})(-b-\sqrt{\Delta})=\frac{1}{4a^2}=(b^2-b\sqrt{\Delta}+b\sqrt{\Delta}-\sqrt{\Delta}^2)$ donc $x_1x_2=\frac{1}{4a^2}(b^2-\Delta)=\frac{1}{4a^2}(b^2-b^2+4ac)=\frac{c}{a}$.\\
D'où $a(x-x_1)(x-x_2)=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=ax^2+bx+c=f(x)$ ce qui justifie le deuxième cas.

\nouvitem Par l'absurde : si $f(x)$ admettait une factorisation dans $\mathbb{R}$, $f(x)$ sécrirait $f(x)=(x-r)P(x)$ où $P$ est un polynôme de degré inférieur strictement à 2 et $r$ est un réel. $f(x)$ admettrait donc une racine $r$ réelle ce qui est n'est pas le cas d'après la propriété précédente.
\end{itemize}

\end{sanscadre}




\begin{sanscadre}{Exemple}
On a vu que l'équation $2x^2-5x+2=0$ a pour discriminant $\Delta=9$ et admet deux solutions 2 et $\frac{1}{2}$.\\
On a donc $2x^2-5x+2=a(x-x_1)(x-x_2)=2(x-2)(x-\frac{1}{2})$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Remarque}
Soit $f$ une fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ réels, $a\neq 0$ et dont le discriminant $\Delta$ est positif. Alors, d'après la preuve de la propriété précédente,  les deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ de $f$ vérifient $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.
\end{encadrer}

\section{Inéquations du second degré}

\begin{encadrer}{Propriété}
Avec les mêmes notations que précédemment, 
\begin{itemize}
\nouvitem si $\Delta <0$, $f(x)$ est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ et ne s'annule pas ;
\nouvitem si $\Delta =0$, $f(x)$ est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ et s'annule en $x_0$ uniquement ;
\nouvitem si $\Delta >0$, $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines $x_1$ et $x_2$ et du signe opposé à l'intérieur.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem Si $\Delta < 0$, on utilise la forme canonique $f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2})$. On a $(x+\frac{b}{2a})^2$ qui est positif pour tout réel $x$ et $-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=-\frac{\Delta}{4a^2}$ qui est strictement positif donc $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x$.
\nouvitem Si $\Delta = 0$, $f(x)=a(x-x_0)^2$ d'après la propriété précédente donc $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x$ réel et ne s'annule que pour $x=x_0$.
\nouvitem Si $\Delta > 0$, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. On fait un tableau de signe suivant le signe $a$. Faisons le par exemple pour $a<0$. On obtient :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}
\hline
 $x$ & $-\infty$ & & $x_1$ & & $x_2$ & & $+\infty$ \\
\hline
$a$ & & - & & - & & - & \\
\hline
$x-x_1$ & & - & 0 & + & & + & \\
\hline
$x-x_2$ & & - & & - & 0 & + & \\
\hline
$f(x)$ & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
ce qui justifie la propriété dans le cas où $a<0$. On procède de même pour le cas $a>0$.
 \end{itemize}

\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir résoudre une inéquation comprenant une inéquation du second degré]}
Résolution de $\frac{-x^2+6+7}{x+2}\geq 0$.\\
$x+2=0$ équivaut à $x=-2$ donc -2 est la seule valeur interdite.\\
Résolution de $-x^2+6x+7=0$ :\\
On a $\Delta=36-4\times (-1)\times 7=64$.\\
$\Delta >0$ donc l'équation admet deux solutions distinctes :\\
$x_1=\frac{-6+8}{-2}=-1$ et $x_2=\frac{-6-8}{-2}=7$.

\'Etude de signe :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|ccccccccc}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & -2 & & -1 & & 7 & & $+\infty$ \\
\hline
$x+2$ & & - & 0 & + & & + & & + & \\
\hline 
$-x^2+6x+7$ & & - & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
$\frac{-x^2+6x+7}{x+2}$ & & + & $\|$ & - & 0 & + & 0 & - & \\
\end{tabular}
\end{center}
Donc $S=]-\infty ;  -2[\cup [-1;7]$
\end{sanscadre}

\newpage



\section{Interprétation graphique}

\begin{encadrer}{Propriété}
Les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ sont les abscisses des points d'intersection s'ils existent de la parabole représentant la fonction $f$ et de l'axe des abscisses.
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Interprétation}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\Delta>0$, la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts ;
\nouvitem si $\Delta =0$, la courbe a pour unique point commun avec l'axe des abscisses son sommet ;
\nouvitem si $\Delta <0$, la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses.
\end{itemize}
En outre, si $a>0$, la parabole a ses branches tournées vers le haut et tournées vers le bas si $a<0$.
\end{sanscadresansflush}

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.8]{seconddegrecours1Simg2.pdf} & \includegraphics[scale=0.8]{seconddegrecours1Simg3.pdf} \\
\includegraphics[scale=0.8]{seconddegrecours1Simg5.pdf} & \includegraphics[scale=0.8]{seconddegrecours1Simg4.pdf} \\
\end{tabular}
\end{center}



\end{document}
