<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">
\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm, top=1.5cm, bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{setspace}

%\setlength\textwidth{15cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{22.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0.5cm} 

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}


\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}
\newcommand{\norme}[1]{\|\vec{#1}\|}
\newcommand{\savoirFaire}[1]{\textbf{[#1]}}
\newcommand{\vectcoord}[2]{\left( \begin{array}{c} #1 \\ #2\end{array}\right)}

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{Produit scalaire, cours, première spécialité Mathématiques}

\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Produit scalaire, cours, classe de première spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents
\vspace{2cm}


\newpage

\section{Définition et premières propriétés}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
 et $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{AC}$. On appelle \emphref{produit scalaire} des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre réel noté $\vec{u}.\vec{v}$ défini par :
 \begin{itemize}
 \nouvitem $$\vec{u}.\vec{v}=AB \times AC \cos(\widehat{BAC})$$
si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls ;
\nouvitem $\vec{u}.\vec{v}=0$ si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{tabular}{c|c|c}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics[width=5cm]{produitScalaireImageCoursDefinition.png}
\end{minipage}
&amp;
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics[width=5cm]{produitScalaireImageCoursDefinitionRemarque1.png}
\end{minipage}
&amp;
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics[width=5cm]{produitScalaireImageCoursDefinitionRemarque2.png}
\end{minipage}
\end{tabular}


\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont \emphref{colinéaires et de même sens}, alors 
$$\vec{AB}.\vec{AC}=AB\times AC$$.
\nouvitem Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont \emphref{colinéaires de sens contraire}, alors 
$$\vec{AB}.\vec{AC}=-AB\times AC$$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
En effet :
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires de même sens, alors $\widehat{BAC}=0^{\circ}$ d'où $\cos(\widehat{BAC})=1$ ;
\nouvitem si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires de sens contraire, alors $\widehat{BAC}=180^{\circ}$ d'où $\cos(\widehat{BAC})=-1$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Produit scalaire et projection orthogonale}

\begin{encadrer}{Définition}
Le projeté orthogonal H d'un point M sur une droite $(d)$ est le point d'intersection de la droite $(d)$ et de la droite perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par M.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{produitScalaireImgProjectionOrthogonale.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété, produit scalaire et projection orthogonale d'un vecteur}
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls et $O$, $A$ et $B$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{OA}$ et $\vec{v}=\vec{OB}$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(OA)$. Alors 
$$\vec{u}.\vec{v}=\vec{OA}.\vec{OB}=\vec{OA}.\vec{OH}$$
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}

\begin{center}
\begin{tabular}{lr}
\includegraphics[width=5cm]{produitscalairecoursImageProjeteOrthogonal1.png}
&amp;
\includegraphics[width=5cm]{produitScalaireCoursImageProjeteOrthogonal2.png}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve }
\begin{itemize}
\nouvitem Dans le cas où $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont de même sens, l'angle $\widehat{BAC}$ est inférieur à 90\degre donc $\cos(\widehat{BAC})=\cos(\widehat{BAH})$.\\
Or dans le triangle $HAC$ rectangle en $H$, on a $\cos(\widehat{HAC})=\frac{AH}{AC}$.\\
D'ù $\vec{AB}.\vec{AC}=AB\times AC \cos(\widehat{BAC})=AB \times AC \times \frac{AH}{AC}=AB\times AH=\vec{AB}.\vec{AH}$
\nouvitem Dans le cas où $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont de sens contraire, on a $\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{HAC}$ d'où $\cos(\widehat{BAC})=\cos(180^{\circ}-\widehat{HAC})=-\cos(\widehat{HAC})$.\\
Or dans le triangle $HAC$ rectangle en $H$, on a $\cos(\widehat{HAC})=\frac{HA}{AC}$.\\
D'où $\vec{AB}.\vec{AC}=AB\times AC\cos(\widehat{BAC})=AB\times (-\cos(\widehat{HAC}))=-AB\times AC\times \frac{HA}{AC}=-AB\times AH=\vec{AB}.\vec{AH}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Calcul d'un produit scalaire]}\\
Soit ABC un triangle isocèle de sommet A tel que $BC = 5$. Alors $\vec{BC}.\vec{BA}=\vec{BC}.\vec{BH}$ où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$. Comme $(AH)$ est la hauteur issue du sommet principal du triangle ABC isocèle de sommet A, alors $H$ est le milieu de $[BC]$ et $\vec{BC}.\vec{BA}=BC\times BH=5\times \frac{5}{2}=\frac{25}{2}$.
\end{sanscadre}



\section{Orthogonalité de vecteurs}


\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont \emphref{orthogonaux} si l'un des deux vecteurs est nul ou si leurs directions sont perpendiculaires.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}.\vec{v}=0$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Seul le cas où les deux vecteurs sont non nul n'est pas évident. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{AC}$. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires c'est à dire que $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ c'est à dire si et seulement si $\vec{u}.\vec{v}=AB\times AC\cos(\widehat{BAC})=0$.
\end{sanscadre}



\section{Autres expressions du produit scalaire}

\subsection{Calcul dans un repère orthonormé}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Dans tout repère orthonormé, si $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x;y)$ et $\vec{v}$ a pour coordonnées $(x';y')$ alors $$\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Calculer un produit scalaire]}\\
Soit $A(-1;5)$, $B(6;4)$ et $C(8;-4)$ dans un repère orthonormé.\\
Calcul de $\vec{AB}.\vec{AC}$ :\\
$\vec{AB}(7;-1)$ et $\vec{AC}(9;-9)$ donc $\vec{AB}.\vec{AC}=7\times 9+(-1)\times (-9)=63+9=72$
\end{sanscadre}

\subsection{Expressions quadratiques}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Le \emphref{produit scalaire} des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est égal à :
$$\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}( \| \vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)$$
ou 
$$\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2)$$
ou
$$\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{4}(\|\vec{u}+\vec{v}\|-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2)$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. On note $(x;y)$ et $(x';y')$ les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ respectivement.
\begin{itemize}
\nouvitem On a $\|\vec{u}\|^2=x^2+y^2$, $\|vec{v}\|^2=x'^2+y'^2$ et $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=(x+x')^2+(y+y')^2$.\\
D'où $\frac{1}{2}( \| \vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)=\frac{1}{2}((x+x')^2+(y+y')^2-(x^2+y^2)-(x'^2+y'^2)=\frac{1}{2}(x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2-x^2-y^2-x'^2-y'^2)=\frac{1}{2}(2xx'+2yy')=xx'+yy'=\vec{u}.\vec{v}$ ;
\nouvitem De même, $\frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2)=\frac{1}{2}(x^2+y^2+x'^2+y'^2-((x-x')^2+(y-y')^2))=\frac{1}{2}(x^2+y^2+x'^2+y'^2-(x^2-2xx'+y'^2+y^2-2yy'+y'^2)=xx'+2yy'=\vec{u}.\vec{v}$
\nouvitem Même démarche que précédemment.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Calcul d'un produit scalaire]}\\
Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que $AB=4$, $AD=5$ et $AC=7$.\\
Calcul de $\vec{AB}.\vec{AD}$ :\\
$\vec{AB}.\vec{AD}=\frac{1}{2}(\|\vec{AB}+\vec{AD}\|^2-\|\vec{AB}\|^2-\|\vec{AD}\|^2))$\\
Or $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$ donc\\
$\vec{AB}.\vec{AD}=\frac{1}{2}(AC^2-AB^2-AD^2)=\frac{1}{2}(7^2-4^2-5^2)=4$
\end{sanscadre}



\section{Propriétés algébriques sur les produits scalaires}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et pour tous les nombres réels $k$, on a :
 \begin{itemize}
  \nouvitem $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ ;
  \nouvitem $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ ;
\nouvitem $(k\vec{u}).\vec{v}=k(\vec{u}.\vec{v})$
 \end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\pdfrowcolors{}
La première égalité est évidente. Dans un repère orthonormé, $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x;y)$, $\vec{v}$ a pour coordonnées $(x';y')$ et $\vec{w}$, $(x'';y'')$. Donc $\vec{v}+\vec{w}$ a pour coordonnées $(x'+x'';y'+y'')$ et $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=x(x'+x'')+y(y'+y'')$.
\noindent Par ailleurs, $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$, $\vec{u}.\vec{w}=xx''+yy''$ donc $\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}=xx'+xx''+yy'+yy''$ ce qui assure la deuxième égalité. On montre de même la troisième égalité.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Le produit scalaire de $\vec{u}$ par lui-même $\vec{u}.\vec{u}$ est noté $\vec{u}^2$ et  on a : $$\vec{u}^2=\vec{u}.\vec{u}=\norme{u}^2$$

\noindent En outre, si $O$ et $A$ sont deux points tels que $\vec{OA}=\vec{u}$, on a : $$\vec{OA}^2=\norme{OA}^2=OA^2$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 $\vec{u}.\vec{u}=\| \vec{u}\|\times \| \vec{u}\| \cos(\vec{u};\vec{u}) =\norme{u}^2$
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété, identités remarquables}
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On a :
\begin{itemize}
\nouvitem $(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ ;
\nouvitem $(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $(\vec{u}+\vec{v})^2=(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}.\vec{u}+\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{u}+\vec{v}.\vec{v}=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ ;
\nouvitem $(\vec{u}-\vec{v})^2=(\vec{u}-\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}.\vec{u}-\vec{u}.\vec{v}-\vec{v}.\vec{u}+\vec{v}.\vec{v}=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ ;
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{document}








</pre></body></html>