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\title{Applications du produit scalaire, cours, première, spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Applications du produit scalaire, cours, première, spécialité Mathématiques}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{Applications du produit scalaire, classe de première, spécialité Mathématiques}}
\end{center}


\section{Vecteurs normaux à une droite et équation cartésienne d'une droite}

\subsection{Vecteurs normaux à des droites}

\begin{encadrer}{Définition}
Un vecteur $\vec{n}$ non nul est dit normal à une droite $(\mathcal{D})$ si .............. .................. ................... .................. ...................... .
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $\mathcal{D}$ une droite, $A$ un point de cette droite et $\vec{n}$ un vecteur normal à cette droite. $\mathcal{D}$ est l'ensemble des points $M$ tels que ........................... 
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Si $M$ est un point de $(\mathcal{D})$ distinct de $A$, alors $\vec{AM}$ a une direction orthogonale à celle de $\vec{n}$ donc ......................... . En outre, si $M=A$, on a évidemment .................... .

Réciproquement, si $M$ est un point vérifiant ..............................., alors $(AM)$ est une droite perpendiculaire à la direction de $\vec{n}$ et qui passe par $A$ donc $(AM)$ et $\mathcal{D}$ sont confondues d'où $M\in \mathcal{D}$
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{produitscalaireapplicationscoursimg4.png}
\end{center}

\subsection{\'Equation cartésienne de droite}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. 
\begin{itemize}
\nouvitem Toute droite admet une équation de la forme ........................ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $(a;b)\neq (0;0)$ ;
\nouvitem réciproquement, soient $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $(a;b)\neq (0;0)$, l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que ........................ avec $(a;b)\neq 0$ est une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ de coordonnées ..................... et de vecteur normal $\vec{n}$ de coordonnées ..................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $\vec{u}$ de coordonnées $(u;v)$ un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ et soit $A$ un point de cette droite de coordonnées $(x_A;y_A)$. Alors $M(x;y)$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{AM}$ sont colinéaires si et seulement si $v(x-a)-u(y-b)=0$ c'est à dire $vx-uy-va+ub=0$ ce qui est bien une équation de la forme cherchée.
\nouvitem Soit $\mathcal{D}$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}(-b;a)$. Si $b\neq 0$ on l'équation ......................... s'écrit $y=$......................... . Le point $A$ de coordonnées $(b;-a-\frac{c}{b})$ appartient donc à $\mathcal{D}$. Par suite $M(x;y)$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires c'est à dire si et seulement si $a(x-b)+b(y+\frac{c}{b}+a)=0$ c'est à dire ..................... . Les points de la droite sont donc bien les points vérifiant l'équation .................... . Le cas où $b=0$ et alors $a\neq 0$ d'après l'hypothèse $(a;b)\neq (0;0)$ se traite de la même manière.

\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $3x+2y-5=0$. L'équation réduite de la droite est $y=$.................. . Les vecteurs de coordonnées ....................... et .................. sont des vecteurs directeurs de la droite. Le vecteur de coordonnées ................. est un vecteur normal à la droite.
\end{sanscadre}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{produitscalaireapplicationscoursimg3.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
Soit $\mathcal{D}$ la droite de vecteur normal $\vec{n}$ de coordonnées $(3;2)$ et passant par $A$ de coordonnées $(-1;4)$. Alors $M(x;y)$ appartient à la droite si et seulement si ........................... si et seulement si .................................. si et seulement si ............................... qui est donc une équation de la droite $\mathcal{D}$.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{\'Equation cartésienne de cercle}



\begin{encadrer}{Propriété}
Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $I(x_I;y_I)$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ tels que ..................................... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Traduction en termes de coordonnées de ...................... .
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem [Déterminer une équation cartésienne de cercle de centre et de rayon donnés] :\\
On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre K(6;-5) et de rayon 3 dans un repère orthonormé du plan.\\
Alors $M(x;y)$ appartient à $\mathcal{C}$ si et seulement si ..................... ce qui équivaut à ....................\\
donc à ................\\
donc à ................
\nouvitem [Reconnaître un cercle à l'aide de son équation cartésienne] :\\
On considère dans un repère orthonormé du plan l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $x^2+y^2-2x+4x=12$.\\
$x^2+y^2-2x+4x=12$ équivaut à ....................................... \\
c'est à dire à .................................................. après une première utilisation du début du développement de l'identité remarquable $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$\\
ce qui équivaut encore à ........................................ après une deuxième utilisation de ce début de développement d'identité remarquable.\\
Cela équivaut encore à ................................\\
L'ensemble cherché est donc le cercle de centre le point $K(......;......)$ et de rayon $..............$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\section{Transformation d'expressions}


\subsection{Transformation de $\vec{MA}.\vec{MB}$}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux points et $I$ le milieu du segment $[AB]$.\\
Pour tout point $M$ du plan,
$$.........$$
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
\begin{align*}
\vec{MA}.\vec{MB}&=...\\
&=...\\
&=...\\
&=...\\
\end{align*}
car I étant le milieu de [AB], on a $\vec{IB}+\vec{IA}=...............$ et $\vec{IA}=................$.

D'où $\vec{MA}.\vec{MB}=$................... .\\
Comme I est le milieu de [AB], on a aussi $IB=\frac{1}{2}AB$\\
d'où $\vec{MA}.\vec{MB}=$......................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
Le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA}.\vec{MB}=0$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $I$ le milieu de $[AB]$. D'après la propriété précédente, $\vec{MA}.\vec{MB}=0$ équivaut à ................................. c'est à dire à ............................. c'est à dire que M appartient au cercle de centre $I$ et de rayon ..................... .
\end{sanscadre}



\subsection{Transformation de l'expression $MA^2+MB^2$}


\begin{encadrer}{Théorème de la médiane}
Soit $ABC$ un triangle. Soit $I$ le milieu de $[BC]$. Alors :
$$................$$
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{produitscalaireapplicationscoursimg1.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
\begin{align*}
AB^2+AC^2&=.........\\
&=............\\
&=............\\
&=..............\\
&=....
\end{align*}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\section{Théorème d'Al Kashi (mathématicien arabe des XIV\ieme-XV\ieme siècle)}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $ABC$ un triangle. On note $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$, $\widehat{A}=\widehat{BAC}$, $\widehat{B}=\widehat{ABC}$, $\widehat{C}=\widehat{BCA}$. Alors :
$$.........$$
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{produitscalaireapplicationscoursimg2.png}
\end{center}

\begin{tabular}{l|l}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
$a^2=(\vec{BA}+\vec{AC})^2$\\
 =
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Remarque}
Par permutation des côtés on a aussi :
$$.....$$
et
$$.....$$
\end{sanscadre}
\end{minipage}
\end{tabular}

%
%\newpage
%
%
%\subsection{Lien entre aires, angles et côtés}
%
%\begin{encadrer}{Propriété}
%Avec les notations précédentes, on appelle $S$ la surface du triangle $ABC$. Alors :
%$$S=\frac{1}{2}bc\sin (\widehat{A})$$
%et
%$$S=\frac{1}{2}ab\sin (\widehat{C})$$
%et
%$$S=\frac{1}{2}ac\sin (\widehat{B})$$
%\end{encadrer}
%
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$. On a $S=\frac{1}{2}AB\times HC$. Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ on a $\sin (\widehat{BAC})=\frac{CH}{AC}$ donc $CH=AC\times \sin (\widehat{BAC})=b\sin (\widehat{A})$ d'où $S=\frac{1}{2}cb\sin (\widehat{A})$
%\end{sanscadre}
%
%
%\begin{encadrer}{Propriété}
%Avec les hypothèses précédentes,
%$$\frac{a}{\sin (\widehat{A})}=\frac{b}{\sin (\widehat{B})}=\frac{c}{\sin (\widehat{C})}$$
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%D'après la propriété précédente, on a $\frac{1}{2}bc\sin (\widehat{A})=\frac{1}{2}ab\sin (\widehat{C})$ donc $c\sin (\widehat{A})=a\sin (\widehat{C})$ d'où $\frac{a}{\sin (\widehat{A})}=\frac{c}{\sin (\widehat{C})}$. L'autre égalité se montre de même.
%\end{sanscadre}
%
%
%\section{Formules de trigonométrie}
%
%\begin{encadrer}{Propriété (formules d'addition}
%Quels que soient les réels $a$ et $b$,
%$$ \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b) -\sin (a) \sin (b)$$
%$$\cos (a-b)=\cos (a) \cos (b) +\sin (a) \sin (b)$$
%$$\sin (a+b)=\cos (a) \sin (b) +\sin (a) \cos (b)$$
%$$\sin (a-b)=\cos (a) \sin (b) -\sin (a) \cos (b)$$
%
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%Soit $\mathcal{C}$ un cercle trigonométrique de centre O et muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i};\vec{j})$ direct.
% $A$ et $B$ sont les points du cercle tels que $(\vec{i};\vec{OA})=a$ et $(\vec{i};\vec{OB})=b$ en radians. $\vec{OA}$ a donc pour coordonnées $(\cos a; \sin a)$ et $\vec{OB}$ a pour coordonnées $(\cos b; \sin b)$. D'après la relation de Chasles our les angles orientés on a : $(\vec{OA};\vec{OB})=(\vec{OA};\vec{i})+(\vec{i};\vec{OB})$ donc $(\vec{OA};\vec{OB})=b-a$.
% 
%Or $\vec{OA}.\vec{OB}=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ d'une part et $\vec{OA}.\vec{OB}=OA\times OB\times \cos (\vec{OA};\vec{OB})=OA\times OB\times \cos (b-a)$ d'autre part. D'où la formule $\cos (b-a)=\cos a\cos b +\sin a\sin b$.
%
%La formule  $$ \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b) -\sin (a) \sin (b)$$ s'obtient en prenant $-a$ au lieu de $a$.
%
%On a en outre 
%\begin{align*}
%\sin (a+b)=\cos (\frac{\pi}{2}-(a+b))&=\cos (\frac{\pi}{2}-a) \cos (-b) + \sin (\frac{\pi}{2}-a) \sin (-b) \\
%&= \sin a\cos b +\cos a\sin b\\
%\end{align*}
%et la dernière formule s'en déduit.
%\end{sanscadre}
%
%\begin{encadrer}{Propriété (formules de duplication)}
%Pour tous les réels $a$ on a :
%$$\cos (2a)=\cos^2 (a) - \sin^2 (a)$$
%et 
%$$\sin (2a)=2\sin (a)\cos (b)$$
%mais aussi
%$$\cos (2a)=2\cos^2 (a)-1$$
%et
%$$\cos(2a)=1-2\sin^2(a)$$
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%La première égalité vient de la première formule d'addition en prenant $b=a$ et la deuxième égalité vient de la troisième formule d'addition en prenant aussi $a=b$.
%
%Les deux dernières égalités s'obtiennent à partir de la première en utilisant la formule $\cos^2 (a)+\sin^2 (a)=1$.
%\end{sanscadre}


\end{document}

