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\title{Applications du produit scalaire, cours, première S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Applications du produit scalaire, cours, classe de première S}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Vecteurs normaux à une droite et équation cartésienne d'une droite}

\subsection{Vecteurs normaux à des droites}

\begin{encadrer}{Définition}
Un vecteur $\vec{n}$ non nul est dit normal à une droite $(\mathcal{D})$ si sa direction est orthogonale à celle de la droite.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $\mathcal{D}$ une droite, $A$ un point de cette droite et $\vec{n}$ un vecteur normal à cette droite. $\mathcal{D}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{AM}.\vec{n}=0$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Si $M$ est un point de $(\mathcal{D})$ distinct de $A$, alors $\vec{AM}$ a une direction orthogonale à celle de $\vec{n}$ donc $\vec{n}.\vec{AM}=0$. En outre, si $M=A$, on a évidemment $\vec{n}.\vec{AM}=0$.

Réciproquement, si $M$ est un point vérifiant $\vec{n}.\vec{AM}=0$, alors $(AM)$ est une droite perpendiculaire à la direction de $\vec{n}$ et qui passe par $A$ donc $(AM)$ et $\mathcal{D}$ sont confondues d'où $M\in \mathcal{D}$
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{produitscalaireapplicationscoursimg4.png}
\end{center}

\subsection{\'Equation cartésienne de droite}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. 
\begin{itemize}
\nouvitem Toute droite admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $(a;b)\neq (0;0)$ ;
\nouvitem réciproquement, soient $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $(a;b)\neq (0;0)$, l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ax+by+c=0$ avec $(a;b)\neq 0$ est une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ de coordonnées $(-b;a)$ et de vecteur normal $\vec{n}$ de coordonnées $(a;b)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $\vec{u}$ de coordonnées $(u;v)$ un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ et soit $A$ un point de cette droite de coordonnées $(x_A;y_A)$. Alors $M(x;y)$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{AM}$ sont colinéaires si et seulement si $v(x-a)-u(y-b)=0$ c'est à dire $vx-uy-va+ub=0$ ce qui est bien une équation de la forme cherchée.
\nouvitem Soit $\mathcal{D}$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}(-b;a)$. Si $b\neq 0$ on l'équation $ax+by+c=0$ s'écrit $y=\frac{-a}{b}x-\frac{c}{b}$. Le point $A$ de coordonnées $(b;-a-\frac{c}{b})$ appartient donc à $\mathcal{D}$. Par suite $M(x;y)$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires c'est à dire si et seulement si $a(x-b)+b(y+\frac{c}{b}+a)=0$ c'est à dire $ax+by+c=0$. Les points de la droite sont donc bien les points vérifiant l'équation $ax+by+c=0$. Le cas où $b=0$ et alors $a\neq 0$ d'après l'hypothèse $(a;b)\neq (0;0)$ se traite de la même manière.

\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $3x+2y-5=0$. L'équation réduite de la droite est $y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$. Les vecteurs de coordonnées $(1;-\frac{3}{2})$ et $(-2;3)$ sont des vecteurs directeurs de la droite. Le vecteur de coordonnées $(3;2)$ est un vecteur normal à la droite.
\end{sanscadre}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{produitscalaireapplicationscoursimg3.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $\mathcal{D}$ la droite de vecteur normal $\vec{n}$ de coordonnées $(3;2)$ et passant par $A$ de coordonnées $(-1;4)$. Alors $M(x;y)$ appartient à la droite si et seulement si $\vec{AM}.\vec{n}=0$ si et seulement si $3(x+1)+2(y-4)=0$ si et seulement si $3x+2y-5=0$ qui est donc une équation de la droite $\mathcal{D}$.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{\'Equation cartésienne de cercle}



\begin{encadrer}{Propriété}
Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $I(x_I;y_I)$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ tels que $(x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Traduction analytique de $IM²=r²$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem [Déterminer une équation cartésienne de cercle de centre et de rayon donnés] :\\
On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre K(6;-5) et de rayon 3 dans un repère orthonormé du plan.\\
Alors $M(x;y)$ appartient à $\mathcal{C}$ si et seulement si $KM^2=3^2$ ce qui équivaut à $(x-6)^2+(y-(-5))^2=9$ donc à $x^2-12x+36+y^2+10x+25=9$ donc à $x^2-12x+y^2+10x+52=0$.
\nouvitem [Reconnaître un cercle à l'aide de son équation cartésienne] :\\
On considère dans un repère orthonormé du plan l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $x^2+y^2-2x+4x=12$.\\
$x^2+y^2-2x+4x=12$ équivaut à $x^2-2x+y^2+4x-12=0$ \\
c'est à dire à $(x-1)^2-1+y^2+4x-12=0$ après une première mise utilisation du début du développement de l'identité remarquable $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$\\
ce qui équivaut encore à $(x-1)^2-1+(y+2)^2-4-12=0$ après une deuxième utilisation de ce début de développement d'identité remarquable.\\
Cela équivaut encore à $(x-1)^2+(y-(-2))^2=17$.\\
L'ensemble cherché est donc le cercle de centre le point $K(1;-2)$ et de rayon $\sqrt{17}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Transformation d'expressions}


\subsection{Transformation de $\vec{MA}.\vec{MB}$}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux points et $I$ le milieu du segment $[AB]$.\\
Pour tout point $M$ du plan,
$$\vec{MA}.\vec{MB}=MI^2-\frac{1}{4}AB^2$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
\vec{MA}.\vec{MB}&=(\vec{MI}+\vec{IA}).(\vec{MI}+\vec{IB})
&=\vec{MI}.\vec{MI}+\vec{MI}.\vec{IB}+\vec{IA}.\vec{MI}+\vec{IA}.\vec{IB}
&=MI^2+\vec{MI}.(\vec{IB}+\vec{IA})+\vec{IA}.\vec{IB}
&=MI^2+\vec{MI}.\vec{0}-\vec{IB}.\vec{IB}
\end{align*}
car I étant le milieu de [AB], on a $\vec{IB}+\vec{IA}=\vec{0}$ et $\vec{IA}=-\vec{IB}$.

D'où $\vec{MA}.\vec{MB}=MI^2-IB^2$.\\
Comme I est le milieu de [AB], on a aussi $IB=\frac{1}{2}AB$\\
d'où $\vec{MA}.\vec{MB}=MI^2-(\frac{1}{2}AB)^2=MI^2-\frac{1}{4}AB^2$
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété}
Le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA}.\vec{MB}=0$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $I$ le milieu de $[AB]$. D'après la propriété précédente, $\vec{MA}.\vec{MB}=0$ équivaut à $MI^2-\frac{1}{4}AB^2=0$ c'est à dire à $MI^2=\frac{1}{4}AB^2$ c'est à dire que M appartient au cercle de centre $I$ et de rayon $\frac{1}{4}AB^2$.
\end{sanscadre}



\subsection{Transformation de l'expression $MA^2+MB^2$}


\begin{encadrer}{Théorème de la médiane}
Soit $ABC$ un triangle. Soit $I$ le milieu de $[BC]$. Alors :
$$AB^2+AC^2=2AI^2+\frac{BC^2}{2}$$
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{produitscalaireapplicationscoursimg1.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
AB^2+AC^2&=(\vec{AI}+\vec{IB})^2+(\vec{AI}+\vec{IC})^2\\
&=\vec{AI}^2+\vec{IB}^2+2\vec{AI}.\vec{IB}+\vec{AI}^2+\vec{IC}^2+2\vec{AI}.\vec{IC}\\
&=2AI^2+IB^2+IC^2+2\vec{AI}.(\vec{IB}+\vec{IC})\\
&=2AI^2+2(\frac{1}{2}BC)^2\\
&=2AI^2+\frac{1}{2}BC^2
\end{align*}
\end{sanscadre}

\section{Théorème d'Al Kashi (mathématicien arabe des XIV\ieme-XV\ieme siècle)}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $ABC$ un triangle. On note $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$, $\widehat{A}=\widehat{BAC}$, $\widehat{B}=\widehat{ABC}$, $\widehat{C}=\widehat{BCA}$. Alors :
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos (\widehat{A})$$
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{produitscalaireapplicationscoursimg2.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
a^2&=(\vec{BA}+\vec{AC})^2\\
 &=(\vec{AC}-\vec{AB})^2\\
 &=\vec{AB}^2+\vec{AC}^2-2\vec{AB}.\vec{AC}\\
 &=c^2+b^2-2\times AB\times AC\times \cos (\widehat{BAC})\\
 &=c^2+b^2-2bc\cos (\widehat{A})
\end{align*}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Par permutation des côtés on a aussi :
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos (\widehat{B})$$
et
$$c^2=b^2+a^2-2ab\cos (\widehat{C})$$
\end{sanscadre}

%
%\newpage
%
%
%\subsection{Lien entre aires, angles et côtés}
%
%\begin{encadrer}{Propriété}
%Avec les notations précédentes, on appelle $S$ la surface du triangle $ABC$. Alors :
%$$S=\frac{1}{2}bc\sin (\widehat{A})$$
%et
%$$S=\frac{1}{2}ab\sin (\widehat{C})$$
%et
%$$S=\frac{1}{2}ac\sin (\widehat{B})$$
%\end{encadrer}
%
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$. On a $S=\frac{1}{2}AB\times HC$. Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ on a $\sin (\widehat{BAC})=\frac{CH}{AC}$ donc $CH=AC\times \sin (\widehat{BAC})=b\sin (\widehat{A})$ d'où $S=\frac{1}{2}cb\sin (\widehat{A})$
%\end{sanscadre}
%
%
%\begin{encadrer}{Propriété}
%Avec les hypothèses précédentes,
%$$\frac{a}{\sin (\widehat{A})}=\frac{b}{\sin (\widehat{B})}=\frac{c}{\sin (\widehat{C})}$$
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%D'après la propriété précédente, on a $\frac{1}{2}bc\sin (\widehat{A})=\frac{1}{2}ab\sin (\widehat{C})$ donc $c\sin (\widehat{A})=a\sin (\widehat{C})$ d'où $\frac{a}{\sin (\widehat{A})}=\frac{c}{\sin (\widehat{C})}$. L'autre égalité se montre de même.
%\end{sanscadre}
%
%
%\section{Formules de trigonométrie}
%
%\begin{encadrer}{Propriété (formules d'addition}
%Quels que soient les réels $a$ et $b$,
%$$ \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b) -\sin (a) \sin (b)$$
%$$\cos (a-b)=\cos (a) \cos (b) +\sin (a) \sin (b)$$
%$$\sin (a+b)=\cos (a) \sin (b) +\sin (a) \cos (b)$$
%$$\sin (a-b)=\cos (a) \sin (b) -\sin (a) \cos (b)$$
%
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%Soit $\mathcal{C}$ un cercle trigonométrique de centre O et muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i};\vec{j})$ direct.
% $A$ et $B$ sont les points du cercle tels que $(\vec{i};\vec{OA})=a$ et $(\vec{i};\vec{OB})=b$ en radians. $\vec{OA}$ a donc pour coordonnées $(\cos a; \sin a)$ et $\vec{OB}$ a pour coordonnées $(\cos b; \sin b)$. D'après la relation de Chasles our les angles orientés on a : $(\vec{OA};\vec{OB})=(\vec{OA};\vec{i})+(\vec{i};\vec{OB})$ donc $(\vec{OA};\vec{OB})=b-a$.
% 
%Or $\vec{OA}.\vec{OB}=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ d'une part et $\vec{OA}.\vec{OB}=OA\times OB\times \cos (\vec{OA};\vec{OB})=OA\times OB\times \cos (b-a)$ d'autre part. D'où la formule $\cos (b-a)=\cos a\cos b +\sin a\sin b$.
%
%La formule  $$ \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b) -\sin (a) \sin (b)$$ s'obtient en prenant $-a$ au lieu de $a$.
%
%On a en outre 
%\begin{align*}
%\sin (a+b)=\cos (\frac{\pi}{2}-(a+b))&=\cos (\frac{\pi}{2}-a) \cos (-b) + \sin (\frac{\pi}{2}-a) \sin (-b) \\
%&= \sin a\cos b +\cos a\sin b\\
%\end{align*}
%et la dernière formule s'en déduit.
%\end{sanscadre}
%
%\begin{encadrer}{Propriété (formules de duplication)}
%Pour tous les réels $a$ on a :
%$$\cos (2a)=\cos^2 (a) - \sin^2 (a)$$
%et 
%$$\sin (2a)=2\sin (a)\cos (b)$$
%mais aussi
%$$\cos (2a)=2\cos^2 (a)-1$$
%et
%$$\cos(2a)=1-2\sin^2(a)$$
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%La première égalité vient de la première formule d'addition en prenant $b=a$ et la deuxième égalité vient de la troisième formule d'addition en prenant aussi $a=b$.
%
%Les deux dernières égalités s'obtiennent à partir de la première en utilisant la formule $\cos^2 (a)+\sin^2 (a)=1$.
%\end{sanscadre}


\end{document}

