
\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm, top=1.5cm, bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{setspace}

%\setlength\textwidth{15cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{22.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0.5cm} 

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

% cadres année 2015
\usepackage{fancybox} % boîtes
\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{16cm}\begin{onehalfspace} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{onehalfspace}\end{minipage}\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\begin{onehalfspace}\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par\end{onehalfspace}}
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}\par}


\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}


\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{Probabilités, cours, première S}


\author{F.Gaudon}

\begin{document}


\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Probabilités, cours, classe de première S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Probabilités, variables aléatoires cours, première S}}
\end{center}




\section{Loi de probabilité de variables aléatoires}


\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $E$ l'univers associé à une expérience aléatoire, c'est à dire l'ensemble des issues possibles. Toute fonction définie sur $E$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ est appelée une \emphref{variable aléatoire}.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur l'univers $E$ d'une expérience aléatoire. Notons $I$ l'ensemble des valeurs prises par $X$, $I=\{x_1;x_2;\ldots ;x_n\}$, et $p_i$ la probabilité de l'événement \og $X$ prend la valeur $x_i$ \fg , événement noté $(X=x_i)$. La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est la fonction définie sur $I$ qui, à chaque valeur $x_i$, associe le nombre $p(X=x_i)$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Notation}
 On présente souvent la loi de probabilité sous forme de tableau :
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
  valeur de $X$ & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $P(X=x_1)$ & $P(X=x_2)$ & ... & $P(X=x_n)$ \\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 On lance un dé. Si les faces 1 et 2 apparaissent on gagne 3 euros. Si les faces 3,4,5 ou 6 sortent, on perd 2 euros.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique de ce jeu. $X$ prend les valeurs 3 et -2. On a $P(X=3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ et $P(X=-2)=\frac{4}{6}$.\\
D'où la loi de probabilité de $X$ :
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
  Valeurs de $X$ & -2 & 3 \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{2}{3}$ & $\frac{1}{3}$ \\
\hline
 \end{tabular}

\end{center}
\end{sanscadre}



\section{Paramètres d'une variable aléatoire}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem On appelle \emphref{espérance mathématique} de $X$ et on note $E(X)$ le nombre $$E(X)=x_1p_1+\ldots +x_np_n$$ 
\nouvitem on appelle \emphref{variance} de $X$ et on note $V(X)$ le nombre $$V(X)=(x_1-E(X))^2p_1+\ldots +(x_n-E(X))^2p_n$$
\nouvitem on appelle \emphref{écart type} de $X$ et on note $\sigma (X)$ le nombre $$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$$
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 L'espérance de la variable aléatoire de l'exemple précédent est :\\
$E(X)= \frac{2}{3}\times(-2)+\frac{1}{3}\times 3 =\frac{-4}{3}+1=-\frac{1}{3}$\\
L'espérance mathématique étant négative, on peut considérer le jeu comme en défaveur du joueur.
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $X$ une variable aléatoire. Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem $E(aX+b)=aE(X)+b$ ;
\nouvitem $V(aX)=a^2V(X)$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Remarquons d'abord que la variable aléatoire $aX+b$ prend les valeurs $ax_1+b$, $ax_2+b$, ..., $ax_n+b$ avec les probabilités respectives $p_1$, $p_2$, $p_3$, ..., $p_n$.\par
\noindent D'où $E(aX+b)=p_1(ax_1+b)+p_2(a_x2+b)+...+p_n(ax_n+b)$\\
$E(aX+b)=p_1ax_1+p_1b+p_2ax_2+p_2b+...+p_nax_n+p_nb$\\
$E(aX+b)=a(p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n)+b(p_1+p_2+...+p_n)$\\
donc $E(aX+b)=aE(X)+b$
\nouvitem D'après ce qui précède, $E(aX)=aE(X)$. Par ailleurs,\\
$V(aX)=p_1(ax_1-E(aX))^2+p_2(ax_2-E(aX))^2+...+p_n(ax_n-E(aX))^2$\\
$V(aX)=p_1(ax_1-aE(X))^2+p_2(ax_2-aE(X))^2+...+p_n(ax_n-aE(X))^2$\\
$V(aX)=a^2p_1(x_1-E(X))^2+a^2p_2(x_2-E(X))^2+...+p_n(ax_n-aE(X))^2$\\
$V(aX)=a^2(p_1(x_2-E-X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+...+p_n(x_n-E(X))^2$\\
$V(aX)=a^2V(X)$\\
 \end{itemize}

\end{sanscadre}


\end{document}



