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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}




\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonction exponentielle, cours, terminale S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Fonction exponentielle, cours, terminale S}}
\end{center}



\section{Définitions et propriétés algébriques}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Propriété $\bigodot$}
Soit $f$ une fonction définie, dérivable sur $\mathbb{R}$, vérifiant $f'=f$ et telle que $f(0)=1$. Alors $f$ est de signe .......... ............. sur $\mathbb{R}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=f(x)f(-x)$. $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $h'(x)=....$....... .\\
On en déduit que $h$ est .......... Or $h(0)=........$ donc pour tout réel $x$, $f(x)f(-x)=.....$ ce qui assure que $f$ ne ................ . Comme $f$ est dérivable donc continue sur $\mathbb{R}$ et que $f(0).......$, $f$ est donc de signe ................ sur $\mathbb{R}$. \par
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
On appelle \emphref{fonction exponentielle de base $e$} l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=............$ et ............. .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve $\bigodot$}
L'existence est admise. Montrons l'unicité d'une telle fonction.\par
Tout d'abord, d'après la propriété précédente, une telle fonction ne s'annule pas.\\
Montrons maintenant l'unicité. Soient donc $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ et vérifiant $f'=....$, $g'=.....$, $f(0)=....$ et $g(0)=.....$.\\
On vient de montrer que $g$ ne s'annule pas, on peut donc considérer la fonction $q$ définie sur $\mathbb{R}$ par $q=\frac{f}{g}$.\\
$q$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $q'(x)=$................ .\\
Par conséquent, la fonction $q$ est constante sur $\mathbb{R}$.\\
Or $q(0)=........$ ......... d'où $\frac{f}{g}=.......$ et $f=g$, ce qui achève la démonstration.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Notation}
On note $e$ l'image $\exp(1)$ de 1 par  la fonction exponentielle. $e\approx ........$.\\
Pour tout $x$ réel, $\exp(x)$ est noté $.............$ et on lit \og{} exponentielle $x$\fg{} ou \og{} $e$ .............. $x$\fg{}.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les réels $a$ et $b$ réel, $$\exp(a+b)=......................$$
c'est à dire
$$e^{a+b}=.................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve $\bigodot$}
Soit $a$ un réel. On a vu plus haut que $\exp$ ne s'annule pas. Pour tout réel $x$, on peut donc définir la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\frac{f(a+x)}{f(x)}$.\\
La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $h'(x)=$..................\\
Or $f'=f$ donc $h'(x)=\frac{f(a+x)f(x)-f(a+x)f(x)}{f(x)^2}=$.............. \\
La fonction $h$ est donc .............. .\\
Or $h(0)=$........................... . \\
D'où pour tout réel $x$, $h(x)=f(a)$, c'est  à dire $\frac{f(a+x)}{f(x)}=f(a)$ et $f(a+x)=f(a)f(x)$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Conséquences}
\begin{onehalfspace}
pour tout entier relatif $n$ et pour tous les réels $x$ et $x'$ on a :
\begin{itemize}
\nouvitem $\frac{1}{\exp(x)}=$.......... c'est à dire $\frac{1}{e^x}=$............ ;
\nouvitem $\frac{\exp(x)}{\exp(x')}=$............... c'est à dire $\frac{e^x}{e^{x'}}=$............. ;
\nouvitem $(\exp(x))^n=$........... c'est à dire $(e^x)^n=$.............. ;
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les réels $x$, $\exp(x)\exp(-x)=\exp(x-x)=..........$ donc $\exp(-x)=$............. .
\nouvitem Pour tous les réels $x$ et $x'$, $\frac{\exp(x)}{\exp(x')}=.......................$ et on utilise le résultat précédent.
\nouvitem Initialisation : Pour $n=0$, pour tout réel $x$, $\exp(x)^0=1$ et $\exp(0\times x)=1$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$.\\
Hérédité : Si pour un rang $k$ entier supérieur ou égal à 0, $\exp(x)^k=\exp(kx)$, alors au rang $k+1$, on obtient $\exp(x)^{k+1}=\exp(x)^k\exp(x)$ d'après le premier point de la propriété.\\
Par l'hypothèse de récurrence au rang $k$, on peut dire que $\exp(x)^k=\exp(kx)$ \\
donc $\exp(x)^{k+1}=\exp(kx)\exp(x)=\exp((k+1)x)$.\\
La propriété est donc vraie au rang $k+1$.\\
Conclusion : Par récurrence, la propriété est vraie pour tous les rangs $n$ positifs.\\
Si $n<0$, on utilise la première propriété.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{\'Etude de la fonction}

\subsection{Dérivabilité}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem La fonction exponentielle $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ réel $\exp '(x)=.............$, ce qui s'écrit encore $(e^x)=.....$.
\nouvitem la fonction exponentielle $\exp$ est .......................sur $]-\infty;+\infty[$ ;
\nouvitem la fonction exponentielle $\exp$ est ......................... sur $]-\infty;+\infty[$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Le premier point n'est qu'une réécriture de la définition.\\
Le deuxième point a été justifié précédemment.\\
Comme $\exp'=\exp$, on en déduit que $\exp'..........$ c'est à dire $\exp$ est strictement ............ sur $]-\infty;+\infty[$.
\end{sanscadre}



\subsection{Tableau de variations}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|l|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & 0 & ... & 1 & ... & $+\infty$ \\
\hline
    &           & &   & &   &  & \\
    &           & &   & & & \\
    &           & &   & & & \\
    &           & &  & &    &           & \\
    &          0 & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Courbe représentative}
\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{fonctionsexponentiellescoursimgcourbe.png}
\end{center}

\subsection{Tableau de signe}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|l|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & & & & & $+\infty$ \\
\hline
 $\exp(x)$   &           & &   & .... &   & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les réels $x$ et $y$ :
$$e^x=e^y \Leftrightarrow ...........$$
et
$$e^x<e^y \Leftrightarrow ...........$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
De même, $e^x\leq e^y \Leftrightarrow x\leq y$, $e^x>e^y \Leftrightarrow x>y$ et $e^x\geq e^y \Leftrightarrow x\geq y$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $x=y$ on a de manière évidente $e^x=e^y$.\\
Réciproquement, si $e^x=e^y$, on a $\frac{e^x}{e^y}=1$ c'est à dire $e^{x-y}=1$. Or, d'après les variations de $\exp$, $0$ est l'unique antécédent de 1 donc $x-y=0$ c'est à dire $x=y$.
\nouvitem Si $x<y$, par stricte croissance de $\exp$, on a $e^x<e^y$.\\
Réciproquement, si $e^x<e^y$, alors $\frac{e^x}{e^y}<1$ donc $e^{x-y}<1$. D'après les variations de $\exp$, cela implique que $x-y<0$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples d'application : résolution d'équations et d'inéquations}
\begin{itemize}
\nouvitem $e^{3x+2}=e^{-5x+8} \Leftrightarrow 3x+2 = -5x + 8 \Leftrightarrow 8x = 6 \Leftrightarrow x=\frac{3}{4}$.
\nouvitem $e^{4x-5}=1 \Leftrightarrow e^{4x-5}=e^0 \Leftrightarrow 4x-5=0 \Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$.
\nouvitem $e^{9x-4}-\frac{1}{e^{-6x+1}}<0 \Leftrightarrow e^{9x-4}<\frac{1}{e^{-6x+1}} \Leftrightarrow e^{9x-4}<e^{6x-1} \Leftrightarrow 9x-4=6x-1 \Leftrightarrow 3x = 3 \Leftrightarrow x=1$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\newpage


\section{\'Etude de fonctions composées avec la fonction exponentielle}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $e^u$ est dérivable sur $I$ et $$(e^u)'=.............$$
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Cas particulier}
La fonction $f:x\mapsto e^{ax+b}$ où $a$ est un réel fixé est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=............$ pour tout $x$ réel.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $a<0$, alors la fonction $f$ définie ci-dessus est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ ;
\nouvitem si $a>0$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{fonctionscomposeesexponentiellesimg.png}
\end{center}



%
%
%\section{Limites}
%
%\begin{encadrer}{Propriété}
%$\lim_{x\rightarrow+\infty}e^x=$........ et $\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x=$........ .
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve $\bigodot$}
%\begin{itemize}
%\nouvitem Montrons d'abord que pour tout réel $x$, $\exp(x)\leq x$.\\
%Pour cela, soit $f$ la fonction définie par $f(x)=...........$ pour tout réel $x$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=............$.\\
%$f'(x)\geq 0$ si et seulement si ................... c'est à dire .................. . Comme $\exp(0)=....$ et $\exp$ est ................. sur $\mathbb{R}$, on déduit que pour tout $x\geq 0$, $\exp(x)\geq .....$ et $f'(x)\geq ......$. Par conséquent, $f$ est ............. sur $[0;+\infty[$ et puisque $f(0)=....$, on a pour tout $x\geq 0$, $f(x)\geq .....$ donc $\exp(x)-x\geq .....$ et $\exp(x)\geq .......$.\\
%Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty}x=........$, par comparaison on obtient $\lim_{x\rightarrow +\infty}=........$.
%\nouvitem On utilise l'égalité $\exp(-x)=$............. . $\lim_{x\rightarrow -\infty} (-x)=..........$ et donc $\lim_{x\rightarrow -\infty} \exp(-x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} .............$. D'après ce qui précède $\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=...........$ donc $\lim_{x\rightarrow+\infty} .........=.....$.
%\end{itemize}
%\end{sanscadre}
%
%\begin{encadrer}{Propriété}
% $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x}=........$$
%que l'on traduit en disant que \og{}la fonction exponentielle l'emporte sur la fonction $x\mapsto x$ en $+\infty$ ou que $x\mapsto x$ est négligeable par rapport à l'exponentielle en $+\infty$.
%$$\lim_{x\rightarrow -\infty}xe^x=....$$
%que l'on traduit en disant que \og{}la fonction exponentielle l'emporte sur la fonction $x\mapsto x$ en $-\infty$.
%$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=....$$
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%\begin{itemize}
%\nouvitem Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2$. On a $f'(x)=e^x-x$ et $f''(x)=e^x-1$.\\
%On a vu précédemment (dans la démonstration de $\lim{x\rightarrow+\infty}e^x=+\infty$) que pour tout réel $x\geq 0$, $e^x\geq1$ donc $f''(x)\geq 0$. D'où $f'$ est croissante sur $[0;+\infty[$. Comme $f'(0)=1$, on déduit que $f'$ est strictement positive sur $[0;+\infty[$ et que $f$ est strictement croissante. Par suite, de $f(0)=1$ on déduit que pour tout réel $x$, $f(x)>0$ c'est à dire $e^x>\frac{1}{2}x^2$ et $\frac{e^x}{x}>\frac{1}{2}x$.
%De $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{2}x=+\infty$ on déduit le résultat voulu.
%\nouvitem On remarque que $\lim_{x\rightarrow -\infty}xe^x=\lim_{x\rightarrow +\infty}{(-x)e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x}{e^x}=0$.
%\nouvitem $\exp$ est dérivable en 0 et le nombre dérivé en 0 est 1 donc $\lim_{x\rightarrow 0}{e^x-e^0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}{e^x-1}{x}=1$.
%\end{itemize}
%\end{sanscadre}
%





 \end{document}
