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\title{Dérivation, cours, première spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Dérivation, cours, classe de première spécialité Mathématiques}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage





\section{Nombre dérivé}

\begin{flushleft}
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ non vide ainsi que deux réels $x_A$ et $h$ avec $h\neq 0$ tels que $x_A\in I$ et $x_A+h\in I$.
\end{flushleft}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Le \emphref{taux d'accroissement} de $f$ entre $x_A$ et $x_A+h$ est le nombre :
$$.......$$
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{définition}
Lorsque le taux d'accroissement tend vers un réel quand $h$ tend vers 0, on dit que $f$ admet un ............. .............. ................ . Ce nombre dérivé est noté ............... . On dit aussi que $f$ est ................... ...........
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{derivationcours1Simg1.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. On a pour tout $h$ réel non nul, \par
 ..........................=............... \par
\noindent qui tend vers ....... quand $h$ tend vers 0.\par
\noindent Donc ......... est appelé le nombre dérivé de $x\longmapsto x^2$ en ......... et  on note ...................
\end{sanscadre}



\section{Tangente à une courbe}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Si $f$ est dérivable en $x_A$ dans un repère, \emphref{la tangente} $\mathcal{T}$ à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ en $x_A$ est la droite qui a pour coefficient directeur $f'(x_A)$ et qui passe par le point $A$ de coordonnées $(x_A;f(x_A))$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. On a pour tout $h$ réel :\par \noindent $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\frac{2^2+2\times 2h+h^2-2^2}{h}=4+h$\par
\noindent Donc $f'(2)=.......$ et l'on obtient la tangente ci-dessous à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 2 :
\begin{center}
 \includegraphics[width=10cm]{nombrederivecoursimg1.png}
\end{center}
 
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
La tangente en $A$ d'abscisse $x_A$ à $\mathcal{C}_f$ a pour équation $$...........$$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $A(x_A;f(x_A))$ et soit $M(x;y)$ un point avec $x\in I$. Alors $M$ appartient à la tangente en $A$ si et seulement si $................$ et $..............$ de coordonnées $.....................$, qui dirige la tangente, sont colinéaires. Cela signifie encore que ....................... ........................... c'est à dire .................... ............... .
\end{sanscadre}

\section{Fonction dérivée}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{onehalfspace}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. $f$ est dite \emphref{dérivable sur $I$} si ................. ................... ..................... .......................

La fonction qui, à tout réel $a$, associe le nombre dérivé $f'(a)$ en $a$, est appelée .................... .................... de $f$ et notée $f'$.
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}
}

\subsection{Dérivées de fonctions usuelles}
\begin{doublespace}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$f(x)$ & $f'(x)$ & $\mathcal{D}_{f'}$\\
\hline
$k$ & .... & $\mathbb{R}$\\
\hline
$x$ & .... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$mx+p$ & .... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^2$ & .....& $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^n$ & ...... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$ & ......... & $\mathbb{R}^{*}$ \\
\hline
$\sqrt{x}$ & .................. & $]0;+\infty [$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{doublespace}

\begin{sanscadre}{Preuves}
Pour tout $a\in I$ et tout $h\neq 0$ tel que $a+h\in I$ on a :
\begin{itemize}
\begin{onehalfspace}
\nouvitem $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=.....$\par
\noindent d'où la dérivée de $x\mapsto k$ est ............ en tout réel $a$ ;
\nouvitem $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=....$\par
\noindent d'où la dérivée de $x\mapsto x$ est ............ en tout réel $a$;
\nouvitem $\frac{m(a+h)+p-(ma+p)}{h}=.......$\par
\noindent d'où la dérivée de $x\mapsto mx+p$ est ........... ;
\nouvitem $\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=.....$\par
\noindent qui tend vers ........... quand $h$ tend vers 0 ;
\nouvitem $\frac{(a+h)^n-a^n}{h}=..................$\par
\noindent qui tend vers .......................... quand $h$ tend vers 0 ;
\end{onehalfspace}
\nouvitem pour la fonction inverse,
\begin{align*} 
\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}& =\frac{\frac{a}{a(a+h)}-\frac{a+h}{a(a+h)}}{h}\\
&=\frac{a-(a+h)}{ah(a+h)}\\
&=\frac{-1}{a(a+h)}\\
\end{align*}
qui tend vers $\frac{-1}{a^2}$ quand $h$ tend vers 0.
\nouvitem pour la fonction racine carrée,
\begin{align*}
\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}&=\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\
&=\frac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\
&=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}
\end{align*}
qui tend vers $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ quand $h$ tend vers 0.
\nouvitem dérivées de $\sin$ et $\cos$ admises.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\section{Opérations sur les fonctions dérivables}

\subsection{Somme}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, alors
$u+v$ est définie et dérivable sur $I$ et :
$$....................$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
$\frac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}=...$\par
\noindent qui tend vers $u'(a)+v'(a)$ quand $h$ tend vers 0.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée d'une somme de deux fonctions dérivables}\\
 $x\mapsto \frac{1}{x}+x^4$ a pour fonction dérivée $x\mapsto .....................................$ pour tout réel $x$ non nul.
\end{sanscadre}

\newpage

\subsection{Multiplication par un nombre réel $k$}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel, alors
$ku$ est définie et dérivable sur $I$ et :
$$...........$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Même raisonnement que précédemment.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée d'une fonction produit d'un réel par une fonction dérivable}\\
 $x\mapsto 3x^5-3x^2+3$ a pour fonction dérivée $x\mapsto ...................................$ c'est  à dire $x\mapsto ..................................$ pour tout réel $x$.
\end{sanscadre}

\subsection{Produit}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, alors $uv$ est dérivable sur $I$ et $$................$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
\begin{align*}
\frac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}&=.......\\
&=.............\\
&=..............\\
\end{align*}
qui tend vers ........................ ..................... quand $h$ tend vers 0.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée du produit de deux fonctions dérivables}\\
On considère $f:x\mapsto(3x-2)\sqrt{x}$ définie sur $\mathbb{R}$.\\
On pose $u(x)=$............ et $v(x)=........$.\\
Alors $u'(x)=$...... et $v'(x)=$............. \\
D'où $f'(x)=...................$
pour tout réel $x$.
\end{sanscadre}


\subsection{Quotient}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, avec pour tout $x$ de $I$, $v(x)\neq 0$, alors $\frac{u}{v}$ est définie et dérivable sur $I$ et $$....................$$

En particulier, $$(\frac{1}{v})'=....................$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
\frac{\frac{u}{v}(a+h)-\frac{u}{v}(a)}{h}&=\frac{\frac{u(a+h)}{v(a+h)}-\frac{u(a)}{v(a}}{h}\\
&=\frac{\frac{u(a+h)}{v(a+h)}-\frac{u(a+h)}{v(a)}+\frac{u(a+h)}{v(a)}-\frac{u(a)}{v(a)}}{h}\\
&=\frac{u(a+h)(\frac{1}{v(a+h)}-\frac{1}{v(a)})+\frac{1}{v(a)}(u(a+h)-u(a))}{h}\\
&=u(a+h)\frac{v(a)-v(a+h)}{hv(a)v(a+h)}+\frac{1}{v(a)}\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\\
&=-u(a+h)\frac{v(a+h)-v(a)}{h}\frac{1}{v(a)v(a+h)}+\frac{1}{v(a)}\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\\
\end{align*}
qui tend vers 
$\frac{-u(a)v'(a)}{v(a)v(a)}+\frac{u'(a)}{v(a)}$ c'est à dire $\frac{-u(a)v'(a)+u'(a)v(a)}{v(a)^2}$ quand $h$ tend vers 0.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée d'une fonction quotient de deux fonctions dérivables}\\
\begin{onehalfspace}
 On considère $f:x\mapsto \frac{3x^2-x}{4-5x}$ définie pour tout réel $x$ différent de ............ .\\
On pose $u(x)=..............$  et$v(x)=...............$.\\
Alors $u'(x)=..............$ et $v'(x)=...............$ \\
D'où $f'(x)=................$
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\subsection{Fonctions composées}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Soient $a$ et $b$ deux réels et $J$ l'ensemble des réels $x$ tels que $ax+b\in I$. Alors la fonction $g:x\longmapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $J$ et pour tout $x$ réel de $J$,
$$.....................$$
En particulier,
$$.............................$$
$$.............................$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
admise
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Calculer la dérivée de fonctions composées]}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
 \nouvitem Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(4x-5)^2$. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et : \\
$g'(x)=..........$.
\nouvitem Soit $h$ la fonction définie sur $I=]\frac{-1}{3};+\infty[$ par $h(x)=5\sqrt{3x+1}$. $h$ est dérivable sur $I$ et :\\
$h'(x)=..............$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\end{document}