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% cadres année 2015
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\title{Fonctions dérivées, cours, première, spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonctions dérivées, cours, classe de première spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Nombre dérivé}
\begin{flushleft}
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ non vide ainsi que deux réels $x_A$ et $h$ avec $h\neq 0$ tels que $x_A\in I$ et $x_A+h\in I$.
\end{flushleft}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Le \emphref{taux d'accroissement} de $f$ entre $x_A$ et $x_A+h$ est le nombre :
$$\frac{f(x_A+h)-f(x_A)}{h}$$
\end{encadrer}
}
\cadre{
\begin{encadrer}{définition}
Lorsque le taux d'accroissement tend vers un réel quand $h$ tend vers 0, on dit que $f$ admet un \emphref{nombre dérivé en $x_A$}. Ce nombre dérivé est noté \emphref{$f'(x_A)$}. On dit aussi que $f$ \emphref{est dérivable en $x_A$}.
\end{encadrer}
}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{nombreDeriveTauxAccroissementImg.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Utiliser un taux d'accroissement pour calculer un nombre dérivé}\\
 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. On cherche à calculer le nombre dérivée de $f$ en 3.
 \begin{itemize}
 \nouvitem On calcule le taux d'accroissement pour $x_A=3$ en fonction de $h$ : on a pour tout $h$ réel non nul \par $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h)^2-3^2}{h^2}=\frac{3^2+2\times 3h+h^2-3^2}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h$\par
 \nouvitem On fait tendre $h$ vers 0 : le taux tend vers 6 quand $h$ tend vers 0. \\
Donc 6 est le nombre dérivé de $x\longmapsto x^2$ en 3 et  on note $f'(3)=6$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\section{Tangente à une courbe}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Si $f$ est dérivable en $x_A$ dans un repère, \emphref{la tangente} $\mathcal{T}$ à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ en $x_A$ est la droite qui a pour coefficient directeur $f'(x_A)$ et qui passe par le point $A$ de coordonnées $(x_A;f(x_A))$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer le coefficient directeur d'une tangente à une courbe en un point et la tracer}\\
 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+3$. On cherche à tracer la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.\\
 \begin{itemize}
\nouvitem On calcule le taux d'accroissement en 1 : on a pour tout $h$ réel :\par \noindent $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{1^2+2\times h+h^2-1^2}{h}=2+h$\par
\nouvitem On fait tendre $h$ vers 0 pour obtenir le nombre dérivé en 1 : $f'(1)=2$
\nouvitem On trace la droite passant par le point de la courbe d'abscisse 1 et de coefficient directeur $f'(1)=2$ :
\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{nombreDeriveTangenteImg.png}
\end{center}
 \end{itemize}
\end{sanscadre}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
La tangente en $A$ d'abscisse $x_A$ à $\mathcal{C}_f$ a pour équation $$y=f'(x_A)(x-x_A)+f(x_A)$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $A(x_A;f(x_A))$ et soit $M(x;y)$ un point avec $x\in I$. Alors $M$ appartient à la tangente en $A$ si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ de coordonnées $(1;f'(x_A))$, qui dirige la tangente, sont colinéaires. Cela signifie encore que $(x-x_A)\times f'(x_A)-1\times (y-f(x_A))=0$ c'est à dire $y=f(x_A)+f'(x_A)(x-x_A)$
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer l'équation réduite de la tangente en un point d'abscisse donnée}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2+3$ et la tangente au point d'abscisse 1 vue plus haut.
On a donc $x_A=1$ et $f'(x_A)=f'(1)=2$ d'après le calcul fait plus haut.\\
En outre $f(x_A)=1^2+3=4$ d'où l'équation est $y=f'(x_A)(x-x_A)+f(x_A)$ donc $y=2(x-1)+4$ c'est à dire $y=2x+2$.
\end{sanscadre}

\section{Fonction dérivée et dérivées de fonctions usuelles}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. $f$ est dite \emphref{dérivable sur $I$} si elle est dérivable en tout réel $a$ de $I$.

La fonction qui, à tout réel $a$, associe le nombre dérivé $f'(a)$ en $a$, est appelée \emphref{fonction dérivée} de $f$ et notée $f'$.
\end{encadrer}
}

\begin{onehalfspace}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$f(x)$ & $f'(x)$ & $\mathcal{D}_{f'}$\\
\hline
$k$ & 0 & $\mathbb{R}$\\
\hline
$x$ & 1 & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$mx+p$ & $m$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^2$ & $2x$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^n$ & $nx^{n-1}$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$ & $-\frac{1}{x^2}$ & $\mathbb{R}^{*}$ \\
\hline
$\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ & $]0;+\infty [$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{onehalfspace}

\begin{sanscadre}{Preuves}
Pour tout $a\in I$ et tout $h\neq 0$ tel que $a+h\in I$ on a :
\begin{itemize}
\nouvitem $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=0$\par
\noindent d'où la dérivée de $x\mapsto k$ est $x\mapsto 0$ en tout réel $a$ ;
\nouvitem $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{a+h-a}{h}=1$\par
\noindent d'où la dérivée de $x\mapsto x$ est $x\mapsto 1$ en tout réel $a$ ;
\nouvitem $\frac{m(a+h)+p-(ma+p)}{h}=\frac{mh}{h}=m$\par
\noindent d'où la dérivée de $x \mapsto mx+p$ est $x\mapsto m$ en tout réel $a$ ;
\nouvitem $\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=2a+h$\par
\noindent qui tend vers $2a$ quand $h$ tend vers 0 ;
\nouvitem $\frac{(a+h)^n-a^n}{h}=\frac{\sum_{k=0}^{k=n-1}(\frac{n}{k})a^{n-k}h^k}{h}$\par
\noindent qui tend vers $na^{n-1}$ quand $h$ tend vers 0 ;
\nouvitem pour la fonction inverse,
\begin{align*} 
\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}& =\frac{\frac{a}{a(a+h)}-\frac{a+h}{a(a+h)}}{h}\\
&=\frac{a-(a+h)}{ah(a+h)}\\
&=\frac{-1}{a(a+h)}\\
\end{align*}
qui tend vers $\frac{-1}{a^2}$ quand $h$ tend vers 0.
\nouvitem pour la fonction racine carrée,
\begin{align*}
\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}&=\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\
&=\frac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\
&=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}
\end{align*}
qui tend vers $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ quand $h$ tend vers 0.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $x\mapsto 3x-2$ a pour fonction dérivée $x\mapsto 3$ pour tout réel $x$.
\nouvitem $x\mapsto x^3$ a pour fonction dérivée $x\mapsto 3x^2$ pour tout réel $x$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Remarque}
La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.\\
En effet, pour $a=0$,
\begin{itemize}
\nouvitem si $h>0$, $\frac{|a+h|-|a|}{h}=\frac{0+h-0}{h}=1$
\nouvitem si $h<0$, $\frac{|a+h|-|a|}{h}=\frac{-h}{h}=-1$
\end{itemize}
Donc le taux d'accroissement n'admet pas de limite en 0 et la fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
\end{sanscadre}



\section{Opérations sur les fonctions dérivables}

\subsection{Somme}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, alors
$u+v$ est définie et dérivable sur $I$ et :
$$(u+v)'=u'+v'$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$\frac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}+\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$ qui tend vers $u'(a)+v'(a)$ quand $h$ tend vers 0.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée d'une somme de deux fonctions dérivables}\\
 $x\mapsto \frac{1}{x}+x^4$ a pour fonction dérivée $x\mapsto -\frac{1}{x^2}+4x^3$ pour tout réel $x$ non nul.
\end{sanscadre}


\subsection{Multiplication par un nombre réel $k$}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel, alors
$ku$ est définie et dérivable sur $I$ et :
$$(ku)'=ku'$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Même démarche que la précédente.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée d'une fonction produit d'un réel par une fonction dérivable}\\
 $x\mapsto 3x^5-3x^2+3$ a pour fonction dérivée $x\mapsto 3\times5x^4-3\times 2x+0$ c'est  à dire $x\mapsto 15x^4-6x$ pour tout réel $x$.
\end{sanscadre}


\subsection{Produit}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, alors $uv$ est dérivable sur $I$ et $$(uv)'=u'v+v'u$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
\frac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}&=\frac{(u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}\\
&=\frac{(u(a+h)-u(a))v(a+h)}{h}+\frac{u(a)(v(a+h)-v(a))}{h}\\
&=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a+h)+u(a)\frac{v(a+h)-v(a)}{h}\\
\end{align*}
qui tend vers $u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$ quand $h$ tend vers 0.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée du produit de deux fonctions dérivables}\\
 On considère $f:x\mapsto(3x-2)\sqrt{x}$ définie sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x)=3x-2$ et $v(x)=\sqrt{x}$. Alors $u'(x)=3$ et $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ et $f'(x)=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)=3\sqrt{x}-(3x-2)\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour tout réel $x$.
\end{sanscadre}



\subsection{Quotient}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, avec pour tout $x$ de $I$, $v(x)\neq 0$, alors $\frac{u}{v}$ est définie et dérivable sur $I$ et $$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$$

En particulier, $$(\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2}$$
\end{encadrer}
}

\newpage

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
\frac{\frac{u}{v}(a+h)-\frac{u}{v}(a)}{h}&=\frac{\frac{u(a+h)}{v(a+h)}-\frac{u(a)}{v(a}}{h}\\
&=\frac{\frac{u(a+h)}{v(a+h)}-\frac{u(a+h)}{v(a)}+\frac{u(a+h)}{v(a)}-\frac{u(a)}{v(a)}}{h}\\
&=\frac{u(a+h)(\frac{1}{v(a+h)}-\frac{1}{v(a)})+\frac{1}{v(a)}(u(a+h)-u(a))}{h}\\
&=u(a+h)\frac{v(a)-v(a+h)}{hv(a)v(a+h)}+\frac{1}{v(a)}\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\\
&=-u(a+h)\frac{v(a+h)-v(a)}{h}\frac{1}{v(a)v(a+h)}+\frac{1}{v(a)}\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\\
\end{align*}
qui tend vers 
$\frac{-u(a)v'(a)}{v(a)v(a)}+\frac{u'(a)}{v(a)}$ c'est à dire $\frac{-u(a)v'(a)+u'(a)v(a)}{v(a)^2}$ quand $h$ tend vers 0.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée d'une fonction quotient de deux fonctions dérivables}\\
 On considère $f:x\mapsto \frac{3x^2-x}{4-5x}$ définie pour tout réel $x$ différent de $\frac{4}{5}$. On pose $u(x)=3x^2-x$ et $v(x)=4-5x$. Alors $u'(x)=6x-1$ et $v'(x)=-5$ d'où $f'(x)=(\frac{u'v-v'u}{v^2})(x)=\frac{(6x-1)(4-5x)-(-5)(3x^2-x)}{(4-5x)^2}=\frac{24x-4-30x+5x+15x^2-5x}{(4-5x)^2}=\frac{15x^2-6x-4}{(4-5x)^2}$.
\end{sanscadre}


\subsection{Dérivation de fonctions composées}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Soient $a$ et $b$ deux réels et $J$ l'ensemble des réels $x$ tels que $ax+b\in I$. Alors la fonction $g:x\longmapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $J$ et pour tout $x$ réel de $J$,
$$g'(x)=af'(ax+b)$$
En particulier,
$$((ax+b)^n)'=a\times n (ax+b)^{n-1}$$
$$(\sqrt{ax+b})'=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
admise
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple [Calculer la fonction dérivée d'une fonction composée]}
\begin{itemize}
 \nouvitem Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(4x-5)^2$. $g$ est dérivable sur $\mathcal{R}$ et : \\
$g'(x)=2\times 4\times (4x-5)=8(4x-5)=3x-40$.
\nouvitem Soit $h$ la fonction définie sur $I=]\frac{-1}{3};+\infty[$ par $h(x)=5\sqrt{3x+1}$. $h$ est dérivable sur $I$ et :\\
$h'(x)=5\times\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}=\frac{15}{2\sqrt{3x+1}}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\end{document}