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% cadres année 2015
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\title{Applications de la dérivation, cours,  première spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Applications de la dérivation, cours, classe de première S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{Applications de la dérivation, cours, première S}}
\end{center}


\section{Signe de la dérivée et variations de la fonction}

\subsection{Du sens de variation au signe de la dérivée}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$, $.............$ ;
\nouvitem si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$, $.............$ ;
\nouvitem si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$, $................$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $a\in I$ et $h \in I$ tel que $a+h \in I$ et $h\neq 0$.

Supposons que $f$ est croissante sur $I$ (les deux autres cas se justifient par la même méthode). On a alors $f(a+h)-f(a)...............$ si $h>0$ et $f(a+h)-f(a)..........$ si $h<0$.

D'où
$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}...............$$ si $h>0$ et $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}...................$$ si $h<0$.

Par conséquent, quand $h$ devient infiniment petit, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ reste .................. et sa limite $f'(a)$ aussi.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Passer du tableau de variations de la fonction  au tableau de signes de la dérivée}\\
Soit $f$ une fonction définie sur $[-3 ; 5]$ et telle que :
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & -3 & & -1 & & 0 & & 5\\
\hline
 variations de& 4 & & & & 1 & & \\
$f(x)$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & \\
 & & & -2 & & & & 0 \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 Alors la fonction dérivée $f'$ a pour tableau de signes :
 \begin{center}

 \begin{tabular}{|c|lcccccr|}
 \hline
 $x$ & ... & & ... & & ... & & ...\\
\hline
 $f'(x)$ & & ... & ... & ... & ... & ... & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
\end{sanscadre}

\subsection{Du signe de la dérivée au sens de variation}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)\geq 0$ (resp. $f'(x)>0$) sauf en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est ........................ (resp. strictement .......................) sur $I$ ;
\nouvitem si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x) \leq 0$ (resp. $f'(x)<0$) sauf en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est ......................... (resp. strictement .......................) sur $I$ ;
\nouvitem si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est .......................... sur $I$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}
\begin{sanscadre}{Preuve}
Admis
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple avec un tableau de signes}
\savoirFaire{Passer du tableau de signe de la dérivée au tableau de variations de la fonction}\\
Soit $f$ une fonction définie sur $[-3 ; 5]$ et telle que :

\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & -3 &  & -2 & & 0 & & 5\\
\hline
signe de $f'x)$ & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le tableau de variations (nécessairement incomplet sans davantage de données)de  $f$ est :

\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & ... &  & ... & & ... & & ...\\
\hline
variations de & & & & & & & \\
$f(x)$ & & ... & & ... & & ... & \\
 & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples par le calcul}
\savoirFaire{\'Etudier les variations d'une fonction en étudiant le signe de la fonction dérivée}\\
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize} 
\nouvitem On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^3+5$.\\
	\begin{itemize}
	\item On calcule l'expression algébrique de la fonction dérivée : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=.......$.
	\item On étudie le signe de la fonction dérivée : pour tout réel $x$,.............. ;
	\item On en déduit les variations de la fonction $f$ : par conséquent, $f$ est une fonction ............... ................... sur $\mathbb{R}$.
	\end{itemize}
\nouvitem Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{4}{2x+3}$ pour tout $x$ appartenant à $[3;+\infty[$.\\
On a $f'(x)=....$.\\
Pour tout $x$ appartenant à $[3;+\infty[$, ................ ............... ......... est toujours positif donc $f'(x)$ est de signe .......................\\
Donc $f$ est ............... ..................... sur $[3;+\infty[$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\section{Dérivée et tableau de variation d'une fonction}

\subsection{Tableau de variation}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\savoirFaire{\'Etudier les variations d'une fonction en étudiant le signe de la fonction dérivée}\\
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}

\nouvitem Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; +\infty [$ par $f(x)=3x^2+7x$. $f$ est dérivable sur $\mathcal{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=........$.

$f'(x)\geq 0$ si et seulement si ................ c'est à dire ..........................

On a donc le tableau de variations suivant :
\vspace{0.3cm}
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & ......... & & ...... & & ......... \\
\hline
$f'(x)$ & & .... & .... & ..... & \\
\hline
$f(x)$ & & ..... & ..... & ...... & \\
 & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\nouvitem Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x)=x+\frac{1}{x}$.
Pour tout réel $x\neq 0$,\\
$f'(x)=....$\\
$f'(x)=....$\\

On a donc le tableau de variation :


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & ... & & ... & & ... & & $+\infty$ \\
\hline
$f'(x)$ & & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & \\
\hline
& & & & & & &  & & \\
$f(x)$ & & ... & & ... & ... & ... & & ... & \\
 & & & & & & & & & \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\subsection{Dérivée, extrema et tableau de variation}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un réel de $I$.
\begin{itemize}
\nouvitem Dire que $f(x_0)$ est un .............. ................(resp. ................. ....................) de $f$ signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ et contenant $x_0$ tel que pour tout $x$ de $J$, ............................   (resp. ...............................).
\nouvitem Un minimum local ou un maximum local est appelé un ............................
\end{itemize}
\end{encadrer}
}



\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ ouvert (c'est à dire de la forme $]a;b[$)
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ admet un maximum ou un minimum en $x_0\in I$ avec $x_0$, alors $f'(x_0)=...$ ;
\nouvitem si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet en $x_0$ un ............................
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
Supposons que $f$ admet un maximum en $x_0$ appartenant à $I$. Alors pour tout $x$ appartenant à $I$ et inférieur strictement à $x_0$, on a $f(x)-f(x_0)...............$ et $x-x_0...........$ . D'où $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.............$ et quand $x$ tend vers $x_0$, on obtient $f'(x_0)...............$. Par contre, pour tout $x$ appartenant à $I$ et supérieur strictement à $x_0$ on a $f(x)-f(x_0)................$ et $x-x_0...............$ donc $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}............$ donc quand $x$ tend vers $x_0$ on obtient $f'(x_0).............$. Par conséquent, $f'(x_0)=0$. La deuxième partie de propriété est admise.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Visualisation}
\begin{center}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
Cas d'un minimum :
\end{center}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & & & $x_0$ & & \\
\hline
$f'(x)$ & & & & & \\
\hline
& & & &  & \\
$f(x)$ & & ... & & ... & \\
& & & ... & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
Cas d'un maximum :
\end{center}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & & & $x_0 $ & & \\
\hline
$f'(x)$ & & & & & \\
\hline
& & & ... &  & \\
$f(x)$ & & ... &  & ... & \\
& & & &  & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\end{sanscadre}


\end{document}
