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% cadres année 2015
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\title{Applications de la dérivation, cours, spécialité mathématiques}


\author{F.Gaudon}


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\begin{document}

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\fancyhead[R]{\textit{Applications de la dérivation, cours, classe de première, spécialité Mathématiques}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Du sens de variation au signe de la dérivée}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)\geq 0$ ;
\nouvitem si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)\leq 0$ ;
\nouvitem si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $a\in I$ et $h \in I$ tel que $a+h \in I$ et $h\neq 0$.

Supposons que $f$ est croissante sur $I$ (les deux autres cas se justifient par la même méthode). On a alors $f(a+h)-f(a)\geq 0$ si $h>0$ et $f(a+h)-f(a)\leq 0$ si $h<0$.

D'où
$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \geq 0$$ si $h>0$ et $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\geq 0$$ si $h<0$.

Par conséquent, quand $h$ devient infiniment petit, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ reste positif et sa limite $f'(a)$ aussi.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}

\savoirFaire{Passer du tableau de variations de la fonction  au tableau de signes de la dérivée}\\
 Soit $f$ une fonction définie sur $[-3 ; 5]$ et telle que :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & -3 & & -1 & & 0 & & 5\\
\hline
 variations de& 4 & & & & 1 & & \\
$f(x)$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & \\
 & & & -2 & & & & 0 \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 Alors la fonction dérivée $f'$ a pour tableau de signes :
 \begin{center}
 \pdfrowcolors{}
 \begin{tabular}{|c|lcccccr|}
 \hline
 $x$ & -3 & & -1 & & 0 & & 5\\
\hline
 $f'(x)$ & & - & 0 & + & 0 & - & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
\end{sanscadre}


\section{Du signe de la dérivée au sens de variation}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)\geq 0$ (resp. $f'(x)>0$) sauf en quelques points où elle s'annule, alors $f$ est croissante (resp. strictement croissante) sur $I$ ;
\nouvitem si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x) \leq 0$ (resp. $f'(x)<0$) sauf en quelques points où elle s'annule, alors $f$ est décroissante (resp. strictement décroissante) sur $I$ ;
\nouvitem si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est constante sur $I$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
admis
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Passer du tableau de signe de la dérivée au tableau de variations de la fonction}\\

Soit $f$ une fonction définie sur $[-3 ; 5]$ et telle que :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & -3 &  & -2 & & 0 & & 5\\
\hline
signe de $f'x)$ & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le tableau de variations de  $f$ est :

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & -3 &  & -2 & & 0 & & 5\\
\hline
signe de $f'x)$ & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
variations de & & & & & & & \\
$f(x)$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples par le calcul}
\savoirFaire{\'Etudier les variations d'une fonction en étudiant le signe de la fonction dérivée}\\
\begin{itemize} 
\nouvitem On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^3+5$.\\
	\begin{itemize}
	\item On calcule l'expression algébrique de la fonction dérivée : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=12x^2$.
	\item On étudie le signe de la fonction dérivée : pour tout réel $x$, $f'(x)>0$ ;
	\item On en déduit les variations de la fonction $f$ : par conséquent, $f$ est une fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
	\end{itemize}
\nouvitem Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{4}{2x+3}$ pour tout $x$ appartenant à $[3;+\infty[$.\\
On a $f'(x)=-\frac{8}{(2x+3)^2}$.\\
Pour tout $x$ appartenant à $[3;+\infty[$, le carré $(2x+3)^2$ est toujours positif donc $f'(x)<0$\\
Donc $f$ est décroissante strictement sur $[3;+\infty[$.

\nouvitem Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; +\infty [$ par $f(x)=3x^2+7x$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=6x+7$.

$f'(x)\geq 0$ si et seulement si $6x+7\geq 0$ c'est à dire $x\geq \frac{-7}{6}$.

On a donc le tableau de variations suivant :
\vspace{0.3cm}
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{7}{6}$ & & $+\infty$ \\
\hline
$f'(x)$ & & - & 0 & + & \\
\hline
$f(x)$ & & $\searrow$ & $\frac{-49}{12}$ & $\nearrow$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\nouvitem Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x)=x+\frac{1}{x}$.

Pour tout réel $x\neq 0$,$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$.

On a donc le tableau de variation :
\vspace{0.3cm}


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & -1 & & 0 & & 1 & & $+\infty$ \\
\hline
$f'(x)$ & & + & 0 & - & $\Vert$ & - & 0 & + & \\
\hline
& & & -2 & & $\Vert$ & &  & & \\
$f(x)$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & $\Vert$ & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & & & & & & & 2 & & \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}

\end{sanscadre}

\newpage


\section{Dérivée, extrema et tableau de variation}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un réel de $I$.
\begin{itemize}
\nouvitem Dire que $f(x_0)$ est un \emphref{maximum local} (resp. \emphref{minimum local}) de $f$ siginifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ et contenant $x_0$ tel que pour tout $x$ de $J$, $f(x)\leq f(x_0)$ (resp. $f(x)\geq f(x_0)$).
\nouvitem Un minimum local ou un maximum local est appelé un extremum local.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ ouvert (c'est à dire de la forme $]a;b[$)
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ admet un maximum local ou un minimum local en $x_0\in I$ avec $x_0$, alors $f'(x_0)=0$ ;
\nouvitem si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet en $x_0$ un extremum local.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Supposons que $f$ admet un maximum local en $x_0$ appartenant à $I$. Alors pour tout $x$ appartenant à $I$ et inférieur strictement à $x_0$, on a $f(x)-f(x_0)\geq 0$ et $x-x_0<0$ . D'où $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0$ et quand $x$ tend vers $x_0$, on obtient $f'(x_0)\geq 0$. Par contre, pour tout $x$ appartenant à $I$ et supérieur strictement à $x_0$ on a $f(x)-f(x_0)\geq 0$ et $x-x_0>0$ donc $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$ donc quand $x$ tend vers $x_0$ on obtient $f'(x_0)\leq 0$. Par conséquent, $f'(x_0)=0$. La deuxième partie de propriété est admise.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadresansflush}{Visualisation}
\begin{tabular}{ccc}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
Cas d'un minimum :
\end{center}
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & & & $x_0$ & & \\
\hline
$f'(x)$& & - & 0 & + & \\
\hline
& & & &  & \\
$f(x)$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
& & & $f(x_0)$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
Cas d'un maximum :
\end{center}
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & & & $x_0 $ & & \\
\hline
$f'(x)$& & + & 0 & - &\\
\hline
& & & $f(x_0)$ &  & \\
$f(x)$ & & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
& & & &  & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{extremumLocalImg.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 On peut avoir $f'(a)=0$ pour un réel $a$ appartenant à $I$ sans que $f$ n'admette d'extremum local en $a$. Par exemple, pour $f(x)=x^3$, on a $f'(0)=0$ mais $f$ n'admet pas d'extremum en 0.
\end{sanscadre}



\end{document}
