
\documentclass[12pt]{article}

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\title{Second degré, cours, première STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Second degré, cours, classe de première STMG}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Fonction polynôme du second degré}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{fonction polynôme du second degré} toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et qui s'écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés et $a\neq 0$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Toute fonction polynôme du second degré $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b, c\in \mathbb{R}$ et $a\neq 0$ s'écrit aussi :
$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$
où $$\alpha=\frac{-b}{2a}$$ (prononcer \og{}alpha\fg{}) $$\beta=f(\alpha)$$ (prononcer \og{}beta\fg{})\\
Cette écriture est appelée \emphref{forme canonique} de la fonction $f$.
\end{encadrer}
}
\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=3x^2-6x+1$.\\
On a $\alpha=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\times 3}=\frac{6}{6}=1$\\
et $f(\alpha)=f(1)=3\times 1^2-6\times 1 + 1=3-6+1=-2$\\
On vérifie que $3(x-1)^2-2=3(x^2-2x+1)-2=3x^2-6x+3-2=3x^2-6x+1=f(x)$\\
Donc $3(x-1)^2-2$ est bien la forme canonique de $f(x)=3x^2-6x+1$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$ du plan, la représentation graphique de la fonction trinôme du second degré $f$ est une parabole dont le point $S$ de coordonnées $(\alpha ;f(\alpha))$ est le sommet.
\end{encadrer}
}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{sanscadre}{Exemple}
On a vu que pour $f(x)=3x^2-6x+1$, on a $\alpha=\frac{-b}{2a}=1$  et $f(1)=-2$ donc le point $S$ de coordonnées $(1;-2)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $f$.
\end{sanscadre}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{seconddegrecoursimgexemple.png}
\end{center}
\end{minipage}



\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour toute fonction polynôme du second degré $f\mapsto ax^2+bx+c$,
\begin{itemize}
 \nouvitem si $a>0$ la fonction $f$ est strictement décroissante puis strictement croissante et admet un minimum en $x=\alpha=\frac{-b}{2a}$.
\nouvitem si $a<0$ la fonction $f$ est strictement croissante puis strictement décroissante et admet un maximum en $x=\alpha=\frac{-b}{2a}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}
\begin{sanscadre}{Synthèse}
Si $a>0$,
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|ccccc|}
 \hline
$x$ & -$\infty$ & & $\alpha$  & & $+\infty$ \\
\hline
 & & &  & & \\
$f(x)$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & & & $f(\alpha)$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
et si $a<0$,
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & -$\infty$ & & $\alpha$  & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & $f(\alpha)$ & & \\
$f(x)$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & \\
 & & & & & \\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
 Dans l'exemple précédent $f(x)=3x^2-6x+1$.  On a vu que $\alpha=\frac{-b}{2a}=1$ et $f(1)=-2$. Par ailleurs, $a=3$. $a$ est positif donc on a le tableau de variations suivants :
\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
 \hline
$x$ & -$\infty$ & & 1  & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & -2 & & \\
$f(x)$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage

\section{\'Equations du second degré}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Toute solution de l'équation $ax^2+bx+c=0$ est appelée \emphref{racine} du trinôme $f$ défini par $f(x)=ax^2+bx+c$ pour tout $x$ réel.
\nouvitem On appelle \emphref{discriminant} du trinôme le réel $\Delta$ (prononcer \og{}delta\fg{}) défini par $\Delta=b^2-4ac$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{itemize}
\nouvitem 2 est une racine de $2x^2-5x+2$ car $2\times 2^2-5\times 2 + 2=2\times 4 - 10 + 2 =0$.
\nouvitem Le discriminant du trinôme $2x^2-5x+2$ est $\Delta=5^2-4\times 2\times 2=25-16=9$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Il faut ordonner les termes du trinôme avant de calculer le discriminant.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant du trinôme du second degré $ax^2+bx+c$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\Delta <0$, alors l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a pas de solution réelle.
\nouvitem Si $\Delta =0$, alors l'équation $ax^2+bx+c=0$ a une unique solution réelle dite racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$.
\nouvitem Si $\Delta >0$, alors l'équation $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions réelles distinctes $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère l'équation $2x^2-5x+2=0$.\\
On a vu que $\Delta=9=3^2$ est positif. Il y a donc deux solutions à cette équation :\par
$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2\times 2}=2$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2\times 2}=\frac{1}{2}$.
\end{sanscadre}


\newpage

\section{Signe de $ax^2+bx+c$}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Avec les mêmes notations que précédemment, 
\begin{itemize}
\nouvitem si $\Delta <0$, $f(x)$ est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ et ne s'annule pas ;
\nouvitem si $\Delta =0$, $f(x)$ est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ et s'annule en $x_0$ uniquement ;
\nouvitem si $\Delta >0$, $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines $x_1$ et $x_2$ et du signe opposé à l'intérieur.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Résolution de $-x^2+6+7\geq 0$.
\begin{itemize}
\nouvitem Résolution de $-x^2+6x+7=0$ :\\
On a $\Delta=36-4\times (-1)\times 7=64$.\\
$\Delta >0$ donc l'équation admet deux solutions distinctes $x_1=\frac{-6+8}{-2}=-1$ et $x_2=\frac{-6-8}{-2}=7$.
\nouvitem \'Etude de signe :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & -1 & & 7 & & $+\infty$ \\
\hline 
$-x^2+6x+7$ & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Donc $S=[-1 ;  7]$
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Interprétation graphique}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ sont les abscisses des points d'intersection s'ils existent de la parabole représentant la fonction $f$ et de l'axe des abscisses.
\end{encadrer}
}
\begin{sanscadre}{Interprétation}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\Delta>0$, la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts ;
\nouvitem si $\Delta =0$, la courbe a pour unique point commun avec l'axe des abscisses son sommet ;
\nouvitem si $\Delta <0$, la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses.
\end{itemize}
En outre, si $a>0$, la parabole a ses branches tournées vers le haut et tournées vers le bas si $a<0$.
\end{sanscadre}

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.8]{seconddegrecours1Simg2.pdf} & \includegraphics[scale=0.8]{seconddegrecours1Simg3.pdf} \\
\includegraphics[scale=0.8]{seconddegrecours1Simg5.pdf} & \includegraphics[scale=0.8]{seconddegrecours1Simg4.pdf} \\
\end{tabular}
\end{center}


\end{document}
