
\documentclass{beamer}
\usepackage[latin1]{inputenc} 
\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc} 

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{color,epic,eepic}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{fancybox} % boîtes
\usepackage{mathrsfs} % police mathématique cursive
\usetheme{JuanLesPins}




\author{F.Gaudon}

\institute{http://mathsfg.net.free.fr}


\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}

\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}} % boîtes de propriétés
\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{10cm} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{minipage}\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}

\title{Proportions, cours, 1 STMG}



\begin{document}

\begin{frame}

\frametitle{Proportions, cours, 1 STMG}
\titlepage
\end{frame}



\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Plan}
  \end{frame}
}

\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}


\section{Notion de proportion}
\begin{frame}
 \tableofcontents[currentsection]
\end{frame}

\begin{frame}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Un ensemble fini $E$ est appelé une \pause{} \emphref{population}\pause{}.
\nouvitem Le nombre d'éléments $n_E$ d'une population $E$ est appelé son \pause{} \emphref{cardinal} ou \emphref{effectif}.\pause{}
\nouvitem Une \emphref{sous population} $A$ est une partie de la population $E$.\pause{}
\nouvitem La \emphref{proportion} $p_A$ (\emphref{fréquence}) d'une sous population $A$ de $n_A$ éléments dans une population $E$ de $n_E$ éléments est le nombre\pause{} 
$$p_A=\frac{n_A}{n_E}$$
\end{itemize}
\end{encadrer}
}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
La population constituée par l'ensemble des élèves  d'une classe contient des sous populations :\pause{} l'ensemble des élèves ayant choisi LV1 anglais, l'ensemble des élèves ayant choisi LV2 anglais, LV1 Allemand, etc.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{proportionspourcentagescours1STGimg1.PNG}
\end{center}
\end{sanscadre}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère la population $E$ des 3250 montres fabriquées en une journée par une entreprise et la sous population $A$ des 625 montres pour enfants. On a $n_A=\pause{}625$ éléments.\pause{} On a $n_E=\pause{}3250$.\pause{} La proportion de montres pour enfants par rapport à l'ensemble des montres fabriquées est $p_A=\pause{}\frac{n_A}{n_E}=\pause{}\frac{625}{3250}\approx 0,19$ soit 19 \% environ. 
\end{sanscadre}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem Une proportion est un nombre toujours compris entre \pause{}0 et 1.\pause{}
\nouvitem Les proportions s'expriment sous la forme \pause{} d'une fraction ou d'un nombre décimal ou bien encore d'un pourcentage.
\nouvitem Avec la formule \pause{} $p_A=\frac{n_A}{n_E}$ on obtient
$$n_A=\pause{}p_A\times n_E$$
\pause{}et 
$$n_E=\pause{}\frac{n_A}{p_A}$$
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère la population des objets produits en une journée par une entreprise. 20 objets étaient défectueux et ils constituaient 2,5 \% de l'ensemble des objets produits dans la journée.\pause{}\\
On a donc $p_A=\pause{}0,025$, $n_A=\pause{}20$ et on cherche $n_E$. D'où $n_E=\pause{}\frac{20}{0,025}\approx \pause{}800$.
\end{sanscadre}
\end{frame}

\section{Addition de proportions}
\begin{frame}
 \tableofcontents[currentsection]
\end{frame}

\begin{frame}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soient $A$ et $B$ deux sous populations d'une population $E$.
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{L'intersection} de $A$ et $B$ notée \pause{} $A\cap B$ est l'ensemble des éléments de $E$ \pause{} à la fois dans $A$ \emph{et} dans $B$.\pause{}
\nouvitem \emphref{La réunion} de $A$ et $B$ notée \pause{} $A\cup B$ est l'ensemble des éléments de $E$ qui se trouvent \pause{} dans $A$ \emph{ou} dans $B$.\pause{}
\nouvitem $A$ et $B$ sont dites \emphref{disjointes} si leur intersection est \pause{}vide c'est à dire si \pause{} aucun individu n'est à la fois dans $A$ et dans $B$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $A$ la population des élèves de 2nde et $B$ la population des élèves de première. Alors les deux populations sont \pause{} disjointes, il n'y a aucun élève à la fois en 2nde et en première. L'intersection est vide.
\end{sanscadre}
\end{frame}



\begin{frame}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{proportionspourcentagescours1STGimg3.PNG}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Si $A$ et $B$ sont deux parties \emphref{disjointes} (c'est à dire n'ayant aucun élément commun) d'une même population $E$ et contenant des proportions $p_A$ et $p_B$ éléments respectivement, alors la proportion d'éléments dans $A$ ou $B$ par rapport à $E$ est\pause{} $p_A+p_B$.
\end{encadrer}
}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{probabilitescoursimgvennintersection.png}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Si $A$ et $B$ sont deux parties \emphref{non disjointes} d'une m\^eme population $E$ de proportions $p_A$ et $p_B$ respectivement et si on note $p_{A\cap B}$ la proportion de $A\cap B$ et $p_{A\cup B}$ celle de $A\cup B$, alors \pause{}
$$p_{A\cup B}=p_A+p_B-p_{A\cap B}$$
\end{encadrer}
}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
61,3 \% des élèves d'une classe font en première langue anglais et 15,2 \% font Allemand en première langue. Alors \pause{}$\frac{61,3+15,2}{100}$ soit 76,5 \% des élèves font anglais ou allemand en première langue, les LV1 Allemands et LV1 anglais forment ici des populations disjointes.\par 
Par contre, il n'y a pas de sens à additionner les 53,6 \% qui font LV2 Italien et les 12 \% qui font LV3 Allemand car certains élèves seraient compté deux fois.\pause{}\\
Cependant, si l'on sait que la proportion d'élèves à la fois LV2 italien et LV3 Allemand vaut 5 \%, alors on peut utiliser la deuxième formule et la proportion d'élèves faisant LV2 italien ou LV3 Allemand est donc \pause{}$0,536+0,12-0,05=0,606$ soit 60,6 \%.
\end{sanscadre}
\end{frame}

\section{Proportions échelonnées}
\begin{frame}
 \tableofcontents[currentsection]
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{proportionspourcentagescours1STGimg2.PNG}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $A$ une partie d'une population $E$ et $F$ une partie de $A$. Alors la proportion $p_F$ d'éléments de $F$ qui sont dans $E$ est le produit de la proportion $p'_F$ d'éléments de $A$ qui sont dans $F$ et de la proportion $p_A$ d'éléments de $E$ qui sont dans $A$ c'est à dire \pause{}
$$p_F=p'_F\times p_A$$
\end{encadrer}
}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
Dans un lycée, 20\% des élèves sont en 1\up{e}L et 40\% des 1\up{e}L sont demi-pensionnaires.\pause{}\\
$\frac{20}{100}\frac{40}{100}=0,08$ donc 8\% des élèves sont en 1\up{e}L et demi-pensionnaires dans ce lycée.
\end{sanscadre}
\end{frame}

\end{document}