
\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm, top=1.5cm, bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{setspace}

%\setlength\textwidth{15cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{22.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0.5cm} 

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}


\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}
\newcommand{\angleor}[2]{(\vec{#1};\vec{#2})}
\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}
\newcommand{\savoirFaire}[1]{\textbf{[#1]}}

\title{Cosinus, sinus d'angles orientés, cours, première STI2D}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Cosinus, sinus d'angles orientés, cours, classe de première STI2D}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\pdfrowcolors{lightgray}

\section{Cosinus et sinus d'un réel}

Soit $(O:\vec{i};\vec{j})$ un repère orthonormal et $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique de centre O.

\begin{encadrer}{Définition}
Soit M le point de $\mathcal{C}$ image du réel $x$. On appelle :
\begin{itemize}
\nouvitem cosinus de $x$ noté $\cos (x)$ l'abscisse du point M ;
\nouvitem sinus de $x$ noté $\sin (x)$ l'ordonnée du point M.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{trigonometriereperagecours1Simg2.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $-1\leq \cos (x)\leq 1$ ;
\nouvitem $-1\leq \sin (x)\leq 1$ ;
\nouvitem $\cos ^2(x)+\sin ^2(x)=1$ ;
\nouvitem $\cos (x+k2\pi)=\cos (x)$ ;
\nouvitem $\sin (x+k2\pi)=\sin (x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
Conséquences directes de la définition.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Valeurs remarquables}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Angle en radians & angle en \degre & cosinus & sinus\\
\hline
$0$ & 0 & $1$ & $0$ \\
\hline
$\frac{\pi}{6}$ & 30 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ \\
\hline
$\frac{\pi}{4}$ & 45 &$\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ \\
\hline
 $\frac{\pi}{3}$ & 60 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \\
\hline
$\frac{\pi}{2}$ & 90 & $0$ & $1$ \\
\hline
$\pi$ & 180 & $-1$ & $0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Cosinus et sinus d'un angle orienté}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Le cosinus (ou le sinus) d'un angle orienté est le cosinus (ou le sinus) d'une mesure en radians de cet angle orienté.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux mesures en radians de l'angle $(\vec{u};\vec{v})$, alors il existe un entier $k$ tel que $\alpha = \beta+k2\pi$. On a donc $\cos (\alpha)=\cos (\beta)$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tout réel $x$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $\cos (-x) = \cos (x)$ ;
\nouvitem $\sin (-x) = -\sin (x)$ ;
\nouvitem $\cos (\pi -x)=-\cos (x)$ ;
\nouvitem $\sin (\pi -x)=\sin (x)$ ;
\nouvitem $\cos (\pi +x)=-\cos (x)$ ;
\nouvitem $\sin (\pi +x)=-\sin (x)$ ;
\nouvitem $\cos (\frac{\pi}{2}-x) =\sin (x)$ ;
\nouvitem $\sin (\frac{\pi}{2}-x) =\cos (x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer le cosinus ou le sinus d'un angle associé}\\
$\cos(-\frac{7\pi}{6})=\cos(\frac{7\pi}{6})=\cos(\pi+\frac{\pi}{6})=-\cos(\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{sanscadre}


\section{\'Equations trigonométriques}




\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $a\in \mathbb{R}$.
\begin{itemize}
 \nouvitem L'équation $\cos(x)=\cos(a)$ a pour solutions les nombres réels $a+2k\pi$ et $-a+2k\pi$ tels que $k \in\mathbb{Z}$.
\nouvitem L'équation $\sin(x)=\sin(a)$ a pour solutions les nombres réels $a+2k\pi$ et $\pi-a+2k\pi$ tels que $k\in\mathbb{Z}$.
\end{itemize}

\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Résoudre des équations trigonométriques}\\
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{ll}
\begin{minipage}{10cm}
Résolution de $\sin(x)=\frac{1}{2}$.\par
\noindent En s'aidant du cercle trigonométrique, l'équation a pour solutions dans $[0;2\pi]$ les nombres $\frac{\pi}{4}$ et $\pi-\frac{\pi}{4}$, c'est  à dire $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4}$.\par
\noindent Dans $\mathbb{R}$, les solutions sont donc $\frac{\pi}{4}+2k\pi$ et $\frac{3\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{cosinussinuscoursimg1.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}

\section{\'Etudes des fonctions circulaires}

\subsection{Fonction cosinus}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $0$ & & $\frac{\pi}{2}$ & & $\pi$ \\
\hline
 & $1$ & & & & \\
$\cos{x}$ & & {\unitlength=1cm
     \begin{picture}(1.1,1.2)(0,0)
     \put(0,1.2){\vector(1,-1){1}}
     \end{picture}} & $0$ & & \\
 & & & & 
      {\unitlength=1cm
     \begin{picture}(1.1,1.2)(0,0)
     \put(0,1.2){\vector(1,-1){1}}
     \end{picture}}&  $-1$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\subsection{Fonction sinus}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $0$ & & $\frac{\pi}{2}$ & & $\pi$ \\
\hline
 & & & $1$ & & \\
$\sin{x}$ & $0$ & {\unitlength=1cm
     \begin{picture}(1.1,1.2)(0,0)
     \put(0.1,0.2){\vector(1,1){1}}
     \end{picture}} & & {\unitlength=1cm
     \begin{picture}(1.1,1.2)(0,0)
     \put(0,1.2){\vector(1,-1){1}}
     \end{picture}} & $0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Représentation graphique}

Les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus sont appelées courbes \emphref{sinusoïdales}.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fonctionstrigocoursimgcossin.png}
\end{center}

\end{document}

