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\title{Nombre dérivé et tangentes à une courbe, cours, première STI2D}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Nombre dérivé et  tangentes à une courbe, cours, classe de première STI2D}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\pdfrowcolors{lightgray}


\section{Nombre dérivé}
\begin{flushleft}
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ non vide ainsi que deux réels $x_A$ et $h$ avec $h\neq 0$ tels que $x_A\in I$ et $x_A+h\in I$.
\end{flushleft}
\begin{encadrer}{Définition}
Le \emphref{taux d'accroissement} de $f$ entre $x_A$ et $x_A+h$ est le nombre :
$$\frac{f(x_A+h)-f(x_A)}{h}$$
\end{encadrer}
\begin{encadrer}{définition}
Lorsque le taux d'accroissement tend vers un réel quand $h$ tend vers 0, on dit que $f$ admet un \emphref{nombre dérivé en $x_A$}. Ce nombre dérivé est noté \emphref{$f'(x_A)$}. On dit aussi que $f$ \emphref{est dérivable en $x_A$}.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{nombreDeriveTauxAccroissementImg.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Utiliser un taux d'accroissement pour calculer un nombre dérivé}\\
 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. On cherche à calculer le nombre dérivée de $f$ en 3.
 \begin{itemize}
 \nouvitem On calcule le taux d'accroissement pour $x_A=3$ en fonction de $h$ : on a pour tout $h$ réel non nul \par $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h)^2-3^2}{h^2}=\frac{3^2+2\times 3h+h^2-3^2}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h$\par
 \nouvitem On fait tendre $h$ vers 0 : le taux tend vers 6 quand $h$ tend vers 0. \\
Donc 6 est le nombre dérivé de $x\longmapsto x^2$ en 3 et  on note $f'(3)=6$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\section{Tangente à une courbe}

\begin{encadrer}{Définition}
Si $f$ est dérivable en $x_A$ dans un repère, \emphref{la tangente} $\mathcal{T}$ à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ en $x_A$ est la droite qui a pour coefficient directeur $f'(x_A)$ et qui passe par le point $A$ de coordonnées $(x_A;f(x_A))$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer le coefficient directeur d'une tangente à une courbe en un point et la tracer}\\
 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+3$. On cherche à tracer la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.\\
 \begin{itemize}
\nouvitem On calcule le taux d'accroissement en 1 : on a pour tout $h$ réel :\par \noindent $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{1^2+2\times h+h^2-1^2}{h}=2+h$\par
\nouvitem On fait tendre $h$ vers 0 pour obtenir le nombre dérivé en 1 : $f'(1)=2$
\nouvitem On trace la droite passant par le point de la courbe d'abscisse 1 et de coefficient directeur $f'(1)=2$ :
\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{nombreDeriveTangenteImg.png}
\end{center}
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
La tangente en $A$ d'abscisse $x_A$ à $\mathcal{C}_f$ a pour équation $$y=f'(x_A)(x-x_A)+f(x_A)$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $A(x_A;f(x_A))$ et soit $M(x;y)$ un point avec $x\in I$. Alors $M$ appartient à la tangente en $A$ si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ de coordonnées $(1;f'(x_A))$, qui dirige la tangente, sont colinéaires. Cela signifie encore que $(x-x_A)\times f'(x_A)-1\times (y-f(x_A))=0$ c'est à dire $y=f(x_A)+f'(x_A)(x-x_A)$
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer l'équation réduite de la tangente en un point d'abscisse donnée}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2+3$ et la tangente au point d'abscisse 1 vue plus haut.
On a donc $x_A=1$ et $f'(x_A)=f'(1)=2$ d'après le calcul fait plus haut.\\
En outre $f(x_A)=1^2+3=4$ d'où l'équation est $y=f'(x_A)(x-x_A)+f(x_A)$ donc $y=2(x-1)+4$ c'est à dire $y=2x+2$.
\end{sanscadre}


\end{document}</pre></body></html>