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\title{Fonctions de référence et fonctions associées, cours, première STI2D}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonctions de référence et fonctions associées, cours, classe de première STI2D}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage
\pdfrowcolors{lightgray}

\section{Fonctions de référence}

\subsection{Fonction carré}
	\begin{itemize}
	\nouvitem $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ ;
	\nouvitem définie pour tout $x$ réel par $x \longmapsto x^2$ ;
	\nouvitem strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$ ;
	\nouvitem positive sur $]-\infty ; +\infty[$ ;
	\nouvitem représentée graphiquement par une \emphref{parabole}.
	\end{itemize}
	\pdfrowcolors{}
	\begin{tabular}{lr}
	\begin{minipage}{8cm}
	\textbf{Variations :}\\
	\begin{center}	
	\begin{tabular}{|c|ccccc|}
	\hline
	$x$ & $-\infty$ & & 0 & & \\
	\hline
	$f(x)$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
	 & & & 0 & & \\
	 \hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	\textbf{Signe :}\\
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|ccccc|}
	\hline
	$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
	\hline
	$f(x)$ & & + & 0 & + & \\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	\end{minipage}
	&
	\begin{minipage}{8cm}
	\begin{center}
	\includegraphics[width=7cm]{fonctionsgeneralitescours1Simgfncarre.pdf}
	\end{center}
	\end{minipage}
	\end{tabular}
	
\subsection{Fonction inverse}
	\begin{itemize}
	\nouvitem $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}-\{0\}$ ;
	\nouvitem définie pour tout $x\neq 0$ par $x \longmapsto \frac{1}{x}$ ;
	\nouvitem strictement décroissante sur $]-\infty ;0[$ et strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ ;
	\nouvitem strictement négative sur $]-\infty ; 0[$ et strictement positive sur $]0 ; +\infty[$ ;
	\nouvitem représentée graphiquement par une \emphref{hyperbole} ;
	\end{itemize}
	\pdfrowcolors{}
	\begin{tabular}{lr}
	\begin{minipage}{8cm}
	\textbf{Variations :}\\
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|ccccc|}
	\hline
	$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
	\hline
	$f(x)$ & & $\searrow$ & || & $\searrow$ & \\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	\textbf{Signe :}\\
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|ccccc|}
	\hline
	$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
	\hline
	$f(x)$ & & - & || & - & \\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	\end{minipage}
	&
	\begin{minipage}{8cm} 
	\begin{center}
	\includegraphics[width=8cm]{fonctionsgeneralitescours1Simgfninv.pdf}
	\end{center}
	\end{minipage}
	\end{tabular}

\newpage

\subsection{Fonctions affines}

	\begin{itemize}
	\nouvitem $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ ;
	\nouvitem définie pour tout $x$ réel par $x \longmapsto ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels fixés ;
	\nouvitem \textbf{Variations :}\vspace{0.2cm}\\
	\begin{tabular}{cc}
	\begin{minipage}{8cm}
	$a>0$ :\\	
	\begin{tabular}{|c|ccc|}
	\hline
	$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$  \\
	\hline
	$f(x)$ & & $\nearrow$ & \\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{minipage}
	&
	\begin{minipage}{8cm}
	$a<0$ :\\
	\begin{tabular}{|c|ccc|}
	\hline
	$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$  \\
	\hline
	$f(x)$ & & $\nearrow$ & \\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{minipage}
	\end{tabular}
	
	\nouvitem \textbf{Signe :}\vspace{0.2cm}\\
	\begin{tabular}{ll}
	\begin{minipage}{8cm}
	$a>0$ :\\
	\pdfrowcolors{}
	\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & - & 0 & + & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
$a<0$ :\\
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe & & & & & \\
de & & + & 0 & - & \\
$ax+b$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{tabular}
	\nouvitem Représentée graphiquement par une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.
	\end{itemize}


\subsection{Fonction racine carrée}

\begin{encadrer}{Définition}
 On appelle fonction \emphref{racine carrée} la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $x\mapsto \sqrt{x}$.
\end{encadrer}

\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Variations}
 \pdfrowcolors{}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|lcr|}
\hline
$x$ & 0 & & $+\infty$ \\
\hline
 & & &  \\
$\sqrt{x}$ & & $\nearrow$ & \\
  & 0 & & \\
\hline  
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Signe}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
 \begin{tabular}{|c|lcr|}
\hline
$x$ &  0 & & $+\infty$ \\
\hline
$\sqrt{x}$ & 0 & + & \\
\hline  
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}
\end{minipage}
\end{tabular}

\begin{sanscadre}{Preuve des variations}
Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels positifs tels que $x_1<x_2$. Alors  $x_2-x_1>0$.\par
\noindent Or, $\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}=\frac{(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1})(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1})}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}$.
Comme $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}>0$ et $x_2-x_1>0$ on a donc $\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}>0$ c'est à dire $x_2>x_1$ ce qui signifie que la fonction racine carrée est une fonction strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Représentation graphique}
	\begin{center}
	\includegraphics[width=6cm]{fonctionsreferenceracinecarreeimg1S.png}
	\end{center}
\end{sanscadre}
\newpage

\subsection{Fonction valeur absolue}

\begin{encadrer}{Définition}
 On appelle fonction \emphref{Valeur absolue} la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$x\mapsto |x|=\left\{\begin{aligned} x \textrm{ si }x\geq 0 \\ -x \textrm{ si }x<0\end{aligned}\right. $$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Variations}
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & & & \\
$|x|$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & & & 0 & & \\
\hline  
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Signe}
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
\hline
$|x|$ & & + &  0 & + & \\
\hline  
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Représentation graphique}
\begin{center}
 \includegraphics[width=10cm]{fonctionsreferencevaleurabsolueimg1S.png}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 La fonction valeur absolue est une fonction paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées dans tout repère orthogonal du plan.
\end{sanscadre}

\section{Fonctions associées}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I=[a;b]$. Soient $k$ et $\lambda$ deux réels.\par
\begin{itemize}
 \nouvitem La fonction $u+k$ définie pour tout réel $x$ de $I$ par $(u+k)(x)=u(x)+k$ a les mêmes variations que la fonction $u$ sur $I$ ;
 \nouvitem si $\lambda >0$, la fonction $\lambda u$ définie pour tout réel $x$ de $I$ par $(\lambda u)(x)=\lambda u(x)$ a les mêmes variations que $u$ sur $I$ ;
\nouvitem si $\lambda < 0$, la fonction $\lambda u$ a des variations contraires à celles de $u$ sur $I$.
\nouvitem La fonction $x\mapsto u(x+\lambda)$ est définie sur $[a-\lambda;b-\lambda]$ et a les mêmes variations que la fonction $u$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On ne traitera que le cas où $u$ est monotone strictement décroissante sur $I$, les autres cas se traitant de la même manière.
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels de $I$ tels que $x_1<x_2$.
$u$ étant strictement décroissante sur $I$, on en déduit que $u(x_1)>u(x_2)$.
$u(x_1)+k>u(x_2)+k$ ce qui montre que $u+k$ est aussi décroissante sur $I$ ;
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels de $I$ tels que $x_1<x_2$.
$u$ étant strictement décroissante sur $I$, on en déduit que $u(x_1)>u(x_2)$.
 $\lambda>0$ donc $\lambda u(x_1)>\lambda u(x_2)$ donc $\lambda u$ est strictement décroissante aussi sur $I$ ;
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels de $I$ tels que $x_1<x_2$.
$u$ étant strictement décroissante sur $I$, on en déduit que $u(x_1)>u(x_2)$.
$\lambda<0$ donc $\lambda u(x_1)<\lambda u(x_2)$ donc $\lambda u$ est strictement croissante sur $I$ ce qui montre la propriété dans ce cas.
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels de $[a-\lambda;b-\lambda]$ avec $x_1<x_2$. Alors $x_1+\lambda$ et $x_2+\lambda$ appartiennent à $[a;b]$ et $x_1+\lambda< x_2+\lambda$ D'où par stricte décroissance de la fonction $u$ sur cet intervalle $u(x_1+\lambda)> u(x_2+\lambda)$ ce qui montre que la fonction définie par $x\mapsto u(x+\lambda)$ est strictement décroissante sur l' intervalle $I$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Déterminer les variations d'une fonction associée à une fonction de référence}\\
 Soit $f$ la fonction définie sur $I=[0;+\infty[$ par $f(x)=-3\sqrt{x}-2$.\\
La fonction $x\mapsto -3\sqrt{x}$ a des variations contraires à celles de la fonction racine carrée sur $I$ donc elle est strictement décroissante sur cet intervalle.\\
En outre, la fonction $x\mapsto-3\sqrt{x}-2$ a les mêmes variations que $x\mapsto -3\sqrt{x}$ sur $I$ donc $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 
\begin{itemize}
\nouvitem Si $u(x)\geq 0$, alors $|u(x)|=u(x)$ ;
\nouvitem si $u(x) \leq 0$, alors $|u(x)|=-u(x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan et $\mathcal{C}_u$ la représentation graphique d'une fonction $u$ définie sur un intervalle $I$ dans ce repère.
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $k$ un réel. La courbe représentative $\mathcal{C}_{u+k}$ de la fonction $u+k$ sur $I$ est l'image de $\mathcal{C}_u$ par la translation de vecteur $k\vec{j}$.
\nouvitem Soit $\lambda$ un réel. La courbe représentative $\mathcal{C}_{u(x+\lambda)}$ de la fonction définie par $x\mapsto u(x+\lambda)$ est l'image de $\mathcal{C}_u$ par la translation de vecteur $-\lambda\vec{i}$.
\nouvitem La courbe représentative $\mathcal{C}_{-u}$ de la fonction $-u$ sur $I$ est l'image de $\mathcal{C}_u$ par la symétrie d'axe $(Ox)$.
\nouvitem La courbe représentative $\mathcal{C}_{|u|}$ de la fonction $|u|$ est confondue avec celle de$u$ sur tous les intervalles où $u$ est positive et est symétrique à celle de $u$ sur tous les intervalles où $u$ est négative.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\begin{itemize} 
\nouvitem \savoirFaire{Reconnaître l'expression de la fonction associée à partir d'une courbe donnée}\\
Sur la représentation graphique ci-contre, la fonction $u$ est la fonction carré définie par $u(x)=x^2$. La fonction $f$ a sa courbe obtenue par la translation de vecteur $3\vec{j}$ de la courbe de la fonction $u$. Son expression algébrique est donc $u(x)=x^2+3$.
\nouvitem \savoirFaire{Tracer la courbe de la fonction dont associée à une fonction de référence dont l'expression est donnée}
Soit $u$ la fonction définie par $u(x)=x^2$ et $g$ la fonction définie par $g(x)=(x+3)^2$ pour tout réel $x$. On a $g(x)=u(x+2)$ donc la courbe de la fonction $g$ est obtenue par la translation de vecteur $-2\vec{i}$ à partir de la courbe de la fonction carré.
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{fonctionsAssocieesImg1.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}





\end{document}
