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\title{Fonctions dérivées, cours, première S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonctions dérivées, cours, classe de première STI2D}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Fonction dérivée et dérivées de fonctions usuelles}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. $f$ est dite \emphref{dérivable sur $I$} si elle est dérivable en tout réel $a$ de $I$.

La fonction qui, à tout réel $a$, associe le nombre dérivé $f'(a)$ en $a$, est appelée \emphref{fonction dérivée} de $f$ et notée $f'$.
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{onehalfspace}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$f(x)$ & $f'(x)$ & $\mathcal{D}_{f'}$\\
\hline
$k$ & 0 & $\mathbb{R}$\\
\hline
$x$ & 1 & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$mx+p$ & $m$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^2$ & $2x$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^n$ & $nx^{n-1}$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$ & $-\frac{1}{x^2}$ & $\mathbb{R}^{*}$ \\
\hline
$\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ & $]0;+\infty [$\\
\hline
$\cos(x)$ & $-\sin(x$) & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\end{onehalfspace}

\begin{sanscadre}{Preuves}
Pour tout $a\in I$ et tout $h\neq 0$ tel que $a+h\in I$ on a :
\begin{itemize}
\nouvitem $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=0$\par
\noindent d'où la dérivée de $x\mapsto k$ est $x\mapsto 0$ en tout réel $a$ ;
\nouvitem $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{a+h-a}{h}=1$\par
\noindent d'où la dérivée de $x\mapsto x$ est $x\mapsto 1$ en tout réel $a$ ;
\nouvitem $\frac{m(a+h)+p-(ma+p)}{h}=\frac{mh}{h}=m$\par
\noindent d'où la dérivée de $x \mapsto mx+p$ est $x\mapsto m$ en tout réel $a$ ;
\nouvitem $\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=2a+h$\par
\noindent qui tend vers $2a$ quand $h$ tend vers 0 ;
\nouvitem $\frac{(a+h)^n-a^n}{h}=\frac{\sum_{k=0}^{k=n-1}(\frac{n}{k})a^{n-k}h^k}{h}$\par
\noindent qui tend vers $na^{n-1}$ quand $h$ tend vers 0 ;
\nouvitem pour la fonction inverse,
\begin{align*} 
\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}& =\frac{\frac{a}{a(a+h)}-\frac{a+h}{a(a+h)}}{h}\\
&=\frac{a-(a+h)}{ah(a+h)}\\
&=\frac{-1}{a(a+h)}\\
\end{align*}
qui tend vers $\frac{-1}{a^2}$ quand $h$ tend vers 0.
\nouvitem pour la fonction racine carrée,
\begin{align*}
\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}&=\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\
&=\frac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\
&=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}
\end{align*}
qui tend vers $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ quand $h$ tend vers 0.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $x\mapsto 3x-2$ a pour fonction dérivée $x\mapsto 3$ pour tout réel $x$.
\nouvitem $x\mapsto x^3$ a pour fonction dérivée $x\mapsto 3x^2$ pour tout réel $x$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme qui trace les tangentes en des points, d'abscisses régulièrement espacées de 0,5 unités sur l'intervalle $[-3 ; 3]$, à la courbe d'une fonction $f$ de dérivée $f'$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$a$\\}
\Traitement{
\Pour{$a$\textbf{ allant de } -3 \textbf{ à } 3 \textbf{ par pas de } 0,5}{
$y$ prend la valeur $f(a)$;\\
$m$ prend la valeur $f'(a)$;\\
Placer le point A de coordonnées $(a,y)$;\\
Tracer la droite passant par A et de coefficient directeur $m$;\\}}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On utilise ici la fonction $f:x\mapsto x^2$ de dérivée $f'(x)=2x$.
 \begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{4.7cm}
\begin{sanscadrec}{TI}{green}
ClrDraw\\
DispGraph\\
For($A$,$-3$,$3$,$0.5$)\\
$A^2\,\vartriangleright U$\\
$2*A\,\vartriangleright M$\\
Pt-On($A$,$U$)\\
Line($-5$,$U+M*(-5-A)$,$5$,$U+M*(5-A)$)\\
End\\
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{4.7cm}
\begin{sanscadrec}{Casio}{blue}
%
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{4.7cm}
\begin{sanscadrec}{XCas}{magenta}
\begin{verbatim}
tracertangentes():={
local a,f,m,y, A,L,d;
f(x):=x^2;
pour a de -3 jusque 3 
pas 0.5 faire
	y:=f(a);
	m:=diff(f,x,a);
	A:=point(a+i*f(a));
	d:=droite(A,pente=m);
	L:=L,A,d;
fpour
return L;
\end{verbatim}
\end{sanscadrec}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\section{Opérations sur les fonctions dérivables}

\subsection{Somme}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, alors
$u+v$ est définie et dérivable sur $I$ et :
$$(u+v)'=u'+v'$$
\end{encadrer}
\begin{sanscadre}{Preuve}
$\frac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}+\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$ qui tend vers $u'(a)+v'(a)$ quand $h$ tend vers 0.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée d'une somme de fonctions dérivables}\\
 $x\mapsto \frac{1}{x}+x^4$ a pour fonction dérivée $x\mapsto -\frac{1}{x^2}+4x^3$ pour tout réel $x$ non nul.
\end{sanscadre}


\subsection{Multiplication par un nombre réel $k$}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel, alors
$ku$ est définie et dérivable sur $I$ et :
$$(ku)'=ku'$$
\end{encadrer}
\begin{sanscadre}{Preuve}
Même démarche que la précédente.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée de la fonction produit d'une fonction par un réel}\\
 $x\mapsto 3x^5-3x^2+3$ a pour fonction dérivée $x\mapsto 3\times5x^4-3\times 2x+0$ c'est  à dire $x\mapsto 15x^4-6x$ pour tout réel $x$.
\end{sanscadre}


\subsection{Produit}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, alors $uv$ est dérivable sur $I$ et $$(uv)'=u'v+v'u$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
\frac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}&=\frac{(u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}\\
&=\frac{(u(a+h)-u(a))v(a+h)}{h}+\frac{u(a)(v(a+h)-v(a))}{h}\\
&=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a+h)+u(a)\frac{v(a+h)-v(a)}{h}\\
\end{align*}
qui tend vers $u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$ quand $h$ tend vers 0.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée d'un produit de fonctions dérivables}\\
 On considère $f:x\mapsto(3x-2)\cos(x)$ définie sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x)=3x-2$ et $v(x)=\cos (x)$. Alors $u'(x)=3$ et $v'(x)=-\sin(x)$ et $f'(x)=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)=3\cos(x)-(3x-2)\sin(x)$ pour tout réel $x$.
\end{sanscadre}



\subsection{Quotient}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, avec pour tout $x$ de $I$, $v(x)\neq 0$, alors $\frac{u}{v}$ est définie et dérivable sur $I$ et $$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$$

En particulier, $$(\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2}$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
\frac{\frac{u}{v}(a+h)-\frac{u}{v}(a)}{h}&=\frac{\frac{u(a+h)}{v(a+h)}-\frac{u(a)}{v(a}}{h}\\
&=\frac{\frac{u(a+h)}{v(a+h)}-\frac{u(a+h)}{v(a)}+\frac{u(a+h)}{v(a)}-\frac{u(a)}{v(a)}}{h}\\
&=\frac{u(a+h)(\frac{1}{v(a+h)}-\frac{1}{v(a)})+\frac{1}{v(a)}(u(a+h)-u(a))}{h}\\
&=u(a+h)\frac{v(a)-v(a+h)}{hv(a)v(a+h)}+\frac{1}{v(a)}\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\\
&=-u(a+h)\frac{v(a+h)-v(a)}{h}\frac{1}{v(a)v(a+h)}+\frac{1}{v(a)}\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\\
\end{align*}
qui tend vers 
$\frac{-u(a)v'(a)}{v(a)v(a)}+\frac{u'(a)}{v(a)}$ c'est à dire $\frac{-u(a)v'(a)+u'(a)v(a)}{v(a)^2}$ quand $h$ tend vers 0.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer la fonction dérivée d'un quotient de fonctions dérivables}\\
 On onsidère $f:x\mapsto \frac{3x^2-x}{4-5x}$ définie pour tout réel $x$ différent de $\frac{4}{5}$. On pose $u(x)=3x^2-x$ et $v(x)=4-5x$. Alors $u'(x)=6x-1$ et $v'(x)=-5$ d'où $f'(x)=(\frac{u'v-v'u}{v^2})(x)=\frac{(6x-1)(4-5x)-(-5)(3x^2-x)}{(4-5x)^2}=\frac{24x-4-30x+5x+15x^2-5x}{(4-5x)^2}=\frac{15x^2-6x-4}{(4-5x)^2}$.
\end{sanscadre}




\end{document}