

\documentclass[12pt]{article}

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% environnements pour propriétés, théorèmes, exemples...
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\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]} %nouvelle puce à l'américaine
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}} % boîtes de propriétés


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\title{Loi binomiale et échantillonnage, cours,  1 STI2D}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Loi binomiale et échantillonnage, cours, classe de 1 STI2D}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Loi binomiale et échantillonnage, cours, 1 STI2D}}
\end{center}


\section{Intervalle de fluctuation d'une proportion au seuil de 95 \%}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille $n$, d'une variable aléatoire $\frac{X}{n}$ où $X$ suit une loi binomiale est l'intervalle $[\frac{a}{n};\frac{b}{n}]$ où 
\begin{itemize}
\nouvitem $a$ est le plus petit entier tel que $P(X\leq a)>0,025$ ;
\nouvitem $b$ le plus petit entier tel que $P(X\leq b)\geq 0,975$.
\end{itemize}
Cet intervalle contient environ 95\% des réalisations de la variable aléatoire.
\end{encadrer}
 }
 \begin{center}
 \includegraphics[width=15cm]{echantillonnageFigure.png}
 \end{center}

\section{Prise de décision sur un échantillon}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
On considère une population dans laquelle on fait l'hypothèse que la proportion d'un caractère est $p$. On prélève un échantillon de taille $n$ et on calcule la fréquence $f$ de ce caractère sur cet échantillon de taille $n$.\\
\begin{itemize}
\nouvitem Si la fréquence $f$ observée n'est pas dans l'intervalle $[\frac{a}{n};\frac{b}{n}]$ de fluctuation de la fréquence alors on rejette l'hypothèse au seuil de confiance de 95\%.
\nouvitem Si la fréquence $f$ observée est dans l'intervalle de fluctuation, alors on ne peut pas rejetter l'hypothèse.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}






\end{document}
