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\title{Produit scalaire, cours, première STD2A}

\author{F.Gaudon}



\begin{document}

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\maketitle

\tableofcontents
\vspace{2cm}


Ce cours a été écrit d'après une recherche faite par le réseau "Ampères" de l'INRP/ADIREM initiée par la commission inter-IREM de Didactique. Il repose sur des travaux effectués par l'IREM de Clermont Ferrand par F. Barachet, G. Le Quang et R. Noirfalise publiés dans le bulletin n°485 des mois de novembre-décembre 2009 de l'APMEP.

\newpage

\section{Orthogonalité de vecteurs}
\pdfrowcolors{lightgray}



\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont \emphref{orthogonaux} si l'un des deux vecteurs est nul ou si leurs directions sont perpendiculaires.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère orthonormé. On considère les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$  de coordonnées respectives  $\vectcoord{x}{y}$ et $\vectcoord{x'}{y'}$ dans ce repère. Alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $xx'+yy'=0$.
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{produitscalairecours1Simg1.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Preuve}
Supposons $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls, le cas où l'un des deux vecteurs est nul étant évident. Soient $A$ et $B$ deux points tels que $\vec{u}=\vec{OA}$ et $\vec{v}=\vec{OB}$. Les deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si le triangle $OAB$ est rectangle en $O$ c'est à dire $OA^2+OB^2=AB^2$ d'après le théorème de Pythagore ce qui s'écrit encore $x^2+y^2+x'^2+y'^2=(x-x')^2+(y-y')^2$ soit $x^2+y^2+x'^2+y'^2=x^2-2xx'+x'^2+y^2-2yy'+y'^2$ d'où $2xx'+2yy'=0$ ou encore $xx'+yy'=0$.
\end{sanscadre}

\section{Défaut d'orthogonalité et produit scalaire}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 On considère les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$  de coordonnées respectives  $\vectcoord{x}{y}$ et $\vectcoord{x'}{y'}$ dans un repère orthonormé $\mathcal{R}$ et $\vectcoord{X}{Y}$ et $\vectcoord{X'}{Y'}$ dans un autre repère orthonormé $\mathcal{R'}$. Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem  $xx'+yy'=XX'+YY'=\frac{1}{2}(\| \vec{u}+\vec{v}\|^2-\| \vec{u} \|^2-\| \vec{v}\|^2)$ ;
\nouvitem on appelle \emphref{produit scalaire} de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et on note $\vec{u}.\vec{v}$ le nombre indépendant du repère orthonormé considéré : 
$$\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'=\frac{1}{2}(\| \vec{u}+\vec{v}\|^2-\| \vec{u} \|^2-\| \vec{v}\|^2)$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
De même que précédemment, on peut supposer $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls. Soient $C$ et $B$ deux points tels que $\vec{CO}=\vec{u}$ et $\vec{OB}=\vec{v}$. On a donc  $\vec{u}+\vec{v}=\vec{CB}$ d'où $\frac{1}{2}=(\| \vec{u}+\vec{v}\|^2-\| \vec{u} \|^2-\| \vec{v}\|^2)=\frac{1}{2}(CB^2-OC^2-OB^2)$. Dans le repère $\mathcal{R}$ ceci est égal à $\frac{1}{2}((x-x')^2+(y-y')^2-(x^2+y^2)-(x'^2+y'^2))=2xx'+2yy'$ et dans le repère $\mathcal{R}'$ c'est égal à $2XX'+2YY'$ d'où le résultat et la formule annoncée.
\end{sanscadre}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{produitscalairecours1Simg2.png}
\end{center}


\section{Propriétés du produit scalaire}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls et O, A et B des points tels que $\vec{u}=\vec{OA}$ et $\vec{OB}=\vec{v}$. On note $\theta$ une mesure de $\widehat{AOB}$.

Alors $$\vec{u}.\vec{v}=OA\times OB\times \cos(\theta)=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\theta)$$
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{produitscalairecours1Simg3.png}
\end{center}


\newpage



\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et pour tous les nombres réels $k$, on a :
 \begin{itemize}
  \nouvitem $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ ;
\nouvitem $(k\vec{u}).\vec{v}=k(\vec{u}.\vec{v})$
 \end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\pdfrowcolors{}
Dans un repère orthonormé, $\vec{u}$ a pour coordonnées $\vectcoord{x}{y}$, $\vec{v}$ a pour coordonnées $\vectcoord{x'}{y'}$ et $\vec{w}$, $\vectcoord{x''}{y''}$.

\noindent Donc $\vec{v}+\vec{w}$ a pour coordonnées $\vectcoord{x'+x''}{y'+y''}$ et $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})$ $\vectcoord{x(x'+x'')}{y(y'+y''}$.

\noindent Par ailleurs, $\vec{u}.\vec{v}$ a pour coordonnées $\vectcoord{xx'}{yy'}$, $\vec{u}.\vec{w}$ $\vectcoord{xx''}{yy''}$ donc $\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ $\vectcoord{xx'+xx''}{yy'+yy''}$ ce qui assure la première égalité.

\noindent On montre de même la deuxième égalité.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Le produit scalaire de $\vec{u}$ par lui-même $\vec{u}.\vec{u}$ est noté $\vec{u}^2$ et  on a $\vec{u}^2=\vec{u}.\vec{u}=\norme{u}^2$.\par
\noindent En outre, si $O$ et $A$ sont deux points tels que $\vec{OA}=\vec{u}$, on a $\vec{OA}^2=\norme{OA}^2=OA^2$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 $\vec{u}.\vec{u}=\norme{u}\norme{u}=\norme{u}^2=\norme{OA}^2=OA^2$
\end{sanscadre}

\end{document}








