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\title{Suites numériques, variations, cours,  première S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[R]{\textit{Suites numériques, variations, cours, classe de première S}}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{Suites numériques, variations, cours, première S}}
\end{center}

\section{Sens de variation}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Une suite $(u_n)_n$ est \emphref{croissante} à partir d'un rang $p\in \mathbb{N}$ si ......................... ........................ ..........................
\nouvitem Une suite $(u_n)_n$ est \emphref{décroissante} à partir d'un rang $p\in \mathbb{N}$ si ...................... ........................ ..........................
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite définie à partir d'un rang $p\in \mathbb{N}$. Si $f$ est une fonction définie sur $[p; +\infty[$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_n=f(n)$,
alors 
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem si $f$ est .................... ..................., alors la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $p$;
\nouvitem si $f$ est ...................... ..................., alors la suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $p$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve (cas où $f$ est décroissante par exemple)}
Pour tout entier naturel $n\geq p$ $u_{n+1}-u_n=f(n+1)-f(n)$. Or $p\leq n<n+1$ et  $f$ est décroissante sur $[p;+\infty[$ donc ........... .......... c'est  à dire .............. ................
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
 Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\frac{1}{n}$ pour tout entier naturel non nul $n$. Alors $u_n=f(n)$ avec $f(x)=\frac{1}{x}$. On sait que $f$ est .................. ..................... sur $]0;+\infty[$ donc $(u_n)$ est ................... .....................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite définie à partir d'un certain rang $p\in\mathbb{N}$. On suppose que pour tout entier naturel $n\geq p$, $u_n$ est strictement positif.
\begin{itemize}
\nouvitem Si pour tout entier naturel $n\geq p$,$\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1$ , alors la suite $(u_n)$ est ................ ............ à partir du rang $p$ ;
\nouvitem si pour tout entier naturel $n\geq p$, $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$, alors la suite $(u_n)$ est ............. ................. à partir du rang $p$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Découle immédiatement de l'équivalence $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1$ si et seulement si $u_{n+1} ........ u_n$ c'est  à dire $u_{n+1}-u_n ....... 0$.
\end{sanscadre}

\section{Variations de suites particulières}

\subsection{Suites arithmétiques}

\begin{encadrer}{Propriété (reconnaissance)}
Une suite $(u_n)_n$ est \emph{arithmétique} si et seulement si pour tout entier $n$, la différence ...................... est constante. Cette constante est alors la raison de la suite.
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété (sens de variation)}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si pour tout entier $n$, ........... ........... c'est à dire $............$ alors $(u_n)_n$ est croissante ;
\nouvitem si pour tout entier $n$, ............ .......... c'est à dire $.........$ alors $(u_n)_n$ est décroissante ;
\nouvitem si ........... alors $(u_n)$ est constante.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\subsection{Suites géométriques}

\begin{encadrer}{Propriété (reconnaissance)}
Une suite $(u_n)_n$ est \emph{géométrique} si pour tout entier $n$, le quotient $.............................$ est constant. Sa valeur est alors la raison $q$ de la suite.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété (sens de variation)}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>0$ et de premier terme $u_p>0$ où $p$ est un entier naturel.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $q>1$ alors la suite $(u_n)$ est .................. ;
\nouvitem si $0<q<1$, alors la suite $(u_n)$ est ................ ;
\nouvitem si $q=1$, alors la suite $(u_n)$ est .....................
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=$...................... .................. .................\par

$u_0$ et $q$ étant positifs, $u_{n+1}-u_n$ est donc du signe de $q-1$ d'où le résultat.
\end{sanscadre}


\end{document}
