Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, première S

1 Loi de Bernoulli

Définition :

Soit p un nombre réel tel que p ∈ [0; 1]. Soit X une variable aléatoire. On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si :

  • X prend pour seules valeurs 1 (« succès ») et 0 (« échec ») ;
  • P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 - p.

Propriété :

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

  • E(X) = p ;
  • V (X) = p(1 - p).

Preuve :

D’une part, E(X) = 0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1) = 0 × (1 - p) + 1 × p = p.

En outre, V (X) = P(X = 0)×(0-E(X))2 +P(X = 1)×(1-E(X))2 = (1-p)p2 +p(1-p)2 = p(1-p)(p+1-p) = p(1-p)

Algorithmique :

Algorithme de simulation d’une épreuve de Bernouilli de paramètre p.

Données :
p : nombre décimal entre 0 et 1 ;
Début traitement :
  t prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu ;
  si t < p alors
      Afficher "Succès" ;
  sinon :
      Afficher "Échec" ;
Fin Traitement.
Entrer p (entre 0 et 1) :
Nombre tiré :

Exemple :

TI :

Prompt P
NbreAleatoire() ▹ T
If T < P
Then
Disp "SUCCES"
Else
Disp "ECHEC"
Casio :

”P”? → P
Rand# → T
If T < P
Then "SUCCES"
Else "ECHEC"
XCas :

saisir("Entrer p : ",p);  
t:=alea(0,1);  
si (t<p) alors  
  afficher("Succès");  
sinon  
  afficher("Echec");  
fsi;

Python :

from random import*  
p=float(raw_input("Entrer p : "))  
t=random()  
if (t<p):  
  print("Succès")  
else:  
  print("Echec")  
 

2 Coefficients binomiaux

Définition :

Soit n et k deux entiers naturels tels que k ≤ n. Si n > 0, on appelle factorielle n et on note n! le nombre de permutations de n éléments. On a :

n! = n(n - 1)(n - 2)..× 1
On convient que 0! = 1.

Exemple :

Un code est composé de 5 chiffres pris parmi les chiffres de 1 à 5. Il y a 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120 codes composés de ces chiffres tous distincts.

Définition et propriété :

On note (n) k (on dit « k sous n ») le nombre de manières d’obtenir k succès et n - k échecs pour n répétitions indépendantes de la même expérience de Bernouilli. On a :

( ) n = ----n!---- k k!(n - k )!

Preuve :

Admise

Exemple :

PIC

(4) 4 = 1 : il y a une seule manière d’obtenir 4 succès lors de la répétition de 4 épreuves identiques indépendantes.
( ) 4 3 = 4 : il y a quatre manières d’obtenir 3 succès et un échec lors de la répétition de 4 épreuves identiques indépendantes (SSSE ; SSES ; SESS ;ESSS).

Algorithmique :

Algorithme de calcul de n! pour n entier naturel donné.

Données : n : entier naturel ;
Début traitement :
  f prend la valeur 1 ;
  k prend la valeur de n ;
  tant que k > 0 faire :
      f prend la valeur de f × k ;
      k prend la valeur de k - 1 ;
  fin tant que
Fin traitement.
Sortie : f

Entrer n entier naturel :

Exemple :

XCas :

saisir("Entrer n :",n);  
f:=1;  
k:=n;  
tantque k>0 faire  
  f:=f*k;  
  k:=k-1;  
ftantque;  
afficher("Factorielle :" :f);

Python :

n=int(raw_input("Entrer n : "))  
f=1  
k=n  
while (k>0):  
  f=f*k  
  k=k-1  
print("Factorielle :"+f)  
 

Propriétés :

  • ( ) nk = ( ) nn-k ;
  • (n) k + (n ) k+1 = (n+1) k+1

Preuve :

Triangle de Pascal :

Le triangle de Pascal, du nom de Blaise Pascal, mathématicien français du XVIIe siècle qui le« redécouvra » en Occident (car il était connu avant en Orient et au Moyen-Orient) est une disposition permettant de visualiser et de calculer les coefficients binomiaux et qui s’appuie sur la formule précédente.

( ) 0 0 = 1

(1) 0 = 1

(1) 1 = 1

(2) 0 = 1

(2) 1 = 2

1

(3) 0 = 1

(3) 1 = 3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

Explication de la construction : le nombre de la ligne n et de la colonne k est le coefficient binomial ( ) n-1 k-1. Il est obtenu en ajoutant le nombre situé au dessus (ligne n- 1 et colonne k) au nombre de la colonne et de la ligne précédente (lign n - 1 et colonne k - 1).
Par exemple, (3) 1 = 3 est la somme de (2) 1 = 2 et de (2) 0 = 1.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Algorithmique :

Algorithme de construction du triangle de Pascal.

Données : n : entier naturel ;
Début traitement :
  a est un tableau vide ;
  pour k de 0 jusque n faire :
      b est un tableau vide ;
      pour p de 0 jusque k faire
          b[p] prend la valeur 1 ;
     fin pour ;
      a[k] prend la valeur de b ;
  fin pour ;
  pour k de 1 jusque n faire :
      pour p de 1 jusque k - 1 faire
          a[k][p] prend la valeur de a[k-1][p]+a[k-1][p-1] ;
      fin pour ;
      Afficher a[k] ;
  fin pour ;
Fin Traitement.

Entrer n entier naturel :

Exemple :

XCas :

saisir("Entrer n :",n);  
a:=[];  
pour k de 0 jusque n faire  
  b:=[];  
  pour p de 0 jusque k faire  
    b[p]:=1;  
  fpour;  
  a[k]:=b;  
fpour;  
pour k de 1 jusque n faire  
  pour p de 1 jusque k-1 faire  
    a[k,p]:=a[k-1,p]+a[k-1,p-1];  
  fpour;  
  afficher(a[k]);  
fpour;

Python :

n=int(raw_input("Entrer n : "))  
a=[]  
for k in range(1,n+2):  
  b=[]  
  for p in range(0,k):  
    b.append(1)  
  a.append(b)  
for k in range(1,n+1):  
  for p in range(1,k):  
    a[k][p]=a[k-1][1]+a[k-1][p-1]  
  print a[k]  
 

3 Loi binomiale

Définition :

On considère une épreuve de Bernouilli de paramètre p ∈ [0; 1]. On répète n fois (n ≥ 1) cette expérience indépendamment et on note X la variable aléatoire qui compte le nombre de succés. On dit alors que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p et on note X ~B(n; p).

Propriété :

Si X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors la probabilité d’obtenir k succès avec k ∈{0; 1; 2; ...; n} est P(X = k) = (n k)pk(1 - p)k.

Preuve :

Il y a (n) k manières d’obtenir k succès dans n répétitions d’expériences identiques et indépendantes. La probabilité de chacune de ces événements qui sont évidemment incompatibles est pk(1 -p)n-k d’où le résultat.

Propriété :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. Alors :

  • E(X) = np ;
  • V (X) = np(1 - p)

Preuve :

Admise

Algorithmique :

Algorithme de simulation d’une loi binomiale de paramètres n et p.

Données :
p : nombre décimal entre 0 et 1 ; n : entier naturel ;
Début traitement : c prend la valeur 0 ;
pour k de 1 jusque n faire :
    t prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu ;
    si t < p alors
        c prend la valeur de c + 1 ;
    fin si ;
fin pour ;
Fin Traitement.
Sortie : c
Entrer n entier naturel :
Entrer p décimal entre 0 et 1 :
Tirages

Exemple :

TI :

Prompt N
Prompt P
0 ▹ C
For(K,1,N) NbreAleatoire() ▹ T
If T < P
Then
C + 1 ▹ C
End
End
Disp C

Casio :

”P”? → P
”N”? → N
0 → C
For 1 → K To N Step 1
Rand#→ T
If T < P
Then C + 1 → C
IfEnd
Next
"C = ” : C
XCas :

saisir("Entrer p : ",p);  
saisir("Entrer n : ",n);  
c:=0;  
pour k de 1 jusque n faire  
  t:=alea(0,1);  
  si t<p alors  
    c:=c+1;  
  fsi;  
fpour  
afficher("Nombre de succès : "+c);

Python :

from random import*  
p=float(raw_input("Entrer p : "))  
n=int(raw_input("Entrer n : "))  
c=0  
for k in range(1,n+1):  
  t=random()  
  if t<p:  
    c=c+1  
print("Nombre de succès",c)

Algorithmique :

Algorithme de simulation d’obtention de N échantillons de lois binomiales de paramètres n et p.

Données :
  n, N : nombres entiers  ; p : nombre décimal entre 0 et 1 ;
Début traitement :
  s est une liste vide ;
  pour k de 0 jusque n faire :
      s[k] prend la valeur 0 ;
  fin pour ;
  pour m de 1 jusque N faire :
      c prend la valeur 0 ;
      pour k de 1 jusque n faire :
          t prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu ;
          si t < p alors :
              c prend la valeur de c + 1 ;
          fin si ;
      fin pour ;
      s[c] prend la valeur de s[c] + 1 ;
  fin pour ;
  Afficher s ;
Fin Traitement.
Entrer n entier naturel :
Entrer p décimal entre 0 et 1 :
Entrer N entier naturel :
(succès ; simulations)

Exemple :

XCas :

saisir("Entrer p : ",p);  
saisir("Entrer n : ",n);  
saisir("Entrer N : ",N);  
s:=[];  
pour k de 0 jusque n faire  
  s[k]:=0;  
fpour;  
pour m de 1 jusque N faire  
  c:=0;  
  pour k de 1 jusque n faire  
    t:=alea(0,1);  
    si t<p alors  
      c:=c+1;  
    fsi;  
  fpour;  
  s[c]:=s[c]+1;  
fpour;  
pour k de 0 jusque n faire  
  afficher("Avec "+k+" succès : "+s[k]);  
fpour;

Python :

from random import*  
p=float(raw_input("Entrer p : "))  
n=int(raw_input("Entrer n : "))  
N=int(raw_input("Entrer N : "))  
s=[]  
for k in range(0,n+1):  
  s.append(0)  
for m in range(1,N+1):  
  c=0  
  for k in range(1,n+1):  
    t=random()  
    if t<p:  
      c=c+1  
  s[c]=s[c]+1  
for k in range(0,n+1):  
print "Nombre avec "+k+" succès : "+s[k]