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\title{Probabilités, cours, première S}


\author{F.Gaudon}

\begin{document}


\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, classe de première S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, première S}}
\end{center}


\pdfrowcolors{lightgray}

\section{Loi de Bernoulli}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $p$ un nombre réel tel que $p\in[0;1]$. Soit $X$ une variable aléatoire. On dit que $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ si :
\begin{itemize}
 \nouvitem $X$ prend pour seules valeurs ............... ................ ................
\nouvitem $P(X=......)=......$ et $P(X=........)=..........$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$.
\begin{itemize}
 \nouvitem $E(X)=.......$ ;
\nouvitem $V(X)=........$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 D'une part, $E(X)=$...................... \par
\noindent En outre, $V(X)=$..................
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de simulation d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$ : nombre décimal entre 0 et 1 ;}
\Traitement{
$t$ prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu ;\\
\Si{.............}{Afficher "Succès" ; }
\Sinon{Afficher "\'Echec" ;}
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}



\section{Schéma de Bernoulli}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Deux expériences sont dites \emphref{indépendantes} si ...................... .................. ................. ...................
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
il y a indépendance lorsqu'on lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
La répétition d'une expérience aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$, ceci $n$ fois de manière indépendante, constitue ....................... ................. .............. ........ de paramètres ....... et .......
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un schéma de Bernoulli, la probabilité d'une liste de résultats est ............... ................. des probabilités de chaque résultat
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\begin{itemize}
\nouvitem \savoirFaire{Construire un arbre représentant un schéma de Bernoulli de paramètres donnés}\\
On contrôle la qualité d'un produit sur une chaîne de production. On prélève 3 produits au hasard. On suppose que les prélèvements sont indépendants. Statistiquement, chaque produit a une probabilité $p=$......... d'être défectueux.\\
On a donc un .......... ....................  de paramètres ...... et .........
\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{arbre.png}
\end{center}
\nouvitem \savoirFaire{Calculer la probabilité d'un événement représenté par un chemin sur un arbre pondéré}\\
Sur l'arbre ci-dessus représentant un schéma de Bernoulli de paramètres $........$ et $........$, la probabilité d'avoir les deux premières expériences qui donnent un succès et la dernière qui donne un échec est ............................. ................\\
soit 0,2 \% de chances d'avoir deux produits défectueux sur les trois prélevés.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Loi binomiale}


\cadre{
\begin{encadrer}{Définition et propriété}
Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels avec $k\leq n$. On note $\binom{n}{k}$ (on dit \og{}$k$ sous $n$\fg{}) le nombre de manières d'obtenir ...... succès et ....... échecs pour ....... répétitions indépendantes de la même expérience de Bernoulli. 
\end{encadrer}
}

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
 \includegraphics[width=8cm]{arbre.png}
\end{center}

\noindent $\binom{3}{3}=1$ : il y a une seule manière d'obtenir 3 succès lors de la répétition de 3 épreuves identiques indépendantes.\\
$\binom{3}{2}=3$ : il y a trois manières d'obtenir 3 succès et un échec lors de la répétition de 4 épreuves identiques indépendantes ($SSE$ ; $SES$ ; $ESS$).
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p\in [0;1]$. On répète $n$ fois ($n\geq 1$) cette expérience indépendamment et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès. On dit alors que la variable aléatoire $X$ suit une loi \emphref{binomiale} de paramètres $n$ et $p$ et on note $X\sim \mathcal{B}(n;p)$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors la probabilité d'obtenir $k$ succès avec $k\in\{0;1;2;...;n\}$ est $$....$$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Il y a $\binom{n}{k}$ manières d'obtenir $k$ succès dans $n$ répétitions d'expériences identiques et indépendantes. La probabilité de chacune de ces événements qui sont évidemment incompatibles est ................ d'où le résultat.
\end{sanscadre} 

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer la probabilité de $P(X=k)$ où $X$ suit une loi binomiale à partir d'un arbre pondéré} \\
On considère le problème précédent de test des produits d'une chaîne de production. Les prélèvements étant supposés indépendants les uns des autres, l'expérience constitue un schéma de Bernoulli de paramètres $n=...$ et $p=....$. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n=....$ et $p=.....$.\\
On a $P(X=2)=$................ ..................\\
 car trois chemins permettent d'obtenir deux succès c'est à dire deux objets défectueux.\\
D'où $P(X=2)=$................. ...................... ...............\\
donc $P(X=2)=$.................... .....................\\
soit une probabilité très faible de 0,007 d'avoir deux produits défectueux.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Calcul pratique de $P(X=k)$ et $P(X\leq k)$}
Soit $X$ une variable aléatoire de paramètres $n$ et $p$. Pour $k$ allant de 0 à $n$, pour calculer $P(X=k)$ ou $P(X\leq k)$, on utilise une calculatrice :
\begin{itemize}
\nouvitem Sur Texas instrument : aller dans le menu \fbox{2nd}\fbox{distrib}, choisir \fbox{binomFdp} et taper \fbox{n}\fbox{,}\fbox{p}\fbox{,}\fbox{k}\fbox{)} pour calculer $P(X=k)$ et choisir \fbox{binomFRép} et taper \fbox{n}\fbox{,}\fbox{p}\fbox{,}\fbox{k}\fbox{)} pour calculer $P(X\leq k)$.
\nouvitem Sur Casio : aller dans le menu \fbox{STAT} puis \fbox{DIST} puis \fbox{BINM}. Sélectionner alors \fbox{Bpd} puis \fbox{Var} pour variable, puis entrer alors $k$  dans la ligne \og{}x\fg{}, $n$ dans la ligne \og{}numtrial\fg{} et $p$ dans la ligne \og{}p\fg{} puis aller sur \og{}execute\fg{} pour valider et calculer ainsi $P(X=k)$. Pour le calcul de  $P(X\leq k)$, on utilisera \fbox{Bcd} au lieu de \fbox{Bpd}.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer $P(X=k)$ ou $P(X\leq k)$ où $X$ suit une loi binomiale à l'aide d'une calculatrice}\\
On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,4$.\\
Sur TI, la probabilité $P(X\leq 3)$ est donnée par \texttt{binomFrép(4,0.4,3)}.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem On a $P(X<3)=P(X\leq ....)$\\
\nouvitem pour calculer $P(X>k)$, on calcule ..............c.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem $E(X)=$......;
\nouvitem $V(X)=$..........
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de simulation d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$ : nombre décimal entre 0 et 1 ; $n$ : entier naturel ;}
\Traitement{
$c$ prend la valeur .....;\\
\Pour{$k$ de 1 jusque .....}
  {$t$ prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu;\\
  \Si{......}{$c$ prend la valeur de .......;\\}
  }
}
\Sortie{$c$}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\newpage




\section{Coefficients binomiaux}



\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem $\binom{n}{k}=\binom{.....}{.....}$ ;
\nouvitem $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=$..........
\end{itemize}
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}

\begin{sanscadre}{Triangle de Pascal}
 Le triangle de Pascal, du nom de Blaise Pascal, mathématicien français du XVII\up{e} siècle qui le\og{}redécouvra\fg{} en Occident (car il était connu avant en Orient et au Moyen-Orient) est une disposition permettant de visualiser et de calculer les coefficients binomiaux et qui s'appuie sur la formule précédente.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|}
\hline
  $\binom{0}{0}=1$ & & & & &\\
\hline
$\binom{1}{0}=1$ & $\binom{1}{1}=1$ & & & &\\
\hline
$\binom{2}{0}=1$ & $\binom{2}{1}=....$ & 1 & & &\\
\hline
$\binom{3}{0}=1$ & $\binom{3}{1}=$.... & .... & 1 & & \\
\hline
1 & .... & .... & .... & 1 &\\
\hline
1 & .... & .... & .... & .... & 1\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
Explication de la construction : le nombre de la ligne $n$ et de la colonne $k$ est le coefficient binomial $\binom{n-1}{k-1}$. Il est obtenu en ajoutant le nombre situé au dessus (ligne $n-1$ et colonne $k$) au nombre de la colonne et de la ligne précédente (ligne $n-1$ et colonne $k-1$).\\
Par exemple, $\binom{3}{1}=3$ est la somme de $\binom{2}{1}=2$ et de $\binom{2}{0}=1$.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  1 & & & & &\\
\hline
1 & 1 & & & &\\
\hline
1 & ... & ... & & &\\
\hline
1 & ... & ... & 1 & & \\
\hline
1 & ..... & .... & .... & 1 &\\
\hline
1 & ..... & ..... & .... & ..... & 1\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage





\end{document}



