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\title{Statistiques, cours, première S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Statistiques, cours, classe de première S}}
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\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Quantiles d'une série statistique}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Le \emphref{premier quartile} noté $Q_1$ de la série statistique est la plus petite valeur telle qu'au moins 25\%  des valeurs lui soient inférieures ou égales ;
\nouvitem Le \emphref{troisième quartile} noté $Q_3$ de la série est la plus petite valeur telle qu'au moins 75\%  des valeurs lui soient inférieures ou égales.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Détermination pratique}
On suppose la série ordonnée dans l'ordre croissant des valeurs du caractère. Soit $N$ l'effectif total.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\frac{N}{4}$ est une entier alors $Q_1$ est la valeur de rang $\frac{N}{4}$ et $Q_3$ est la valeur de rang $\frac{3N}{4}$ ;
\nouvitem si $\frac{N}{4}$ n'est pas entier, alors $Q_1$ est la valeur dont le rang suit $\frac{N}{4}$ et $Q_3$ la valeur dont le rang suit $\frac{3N}{4}$. 
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Il existe d'autres définitions des quartiles. En particulier, on peut définir le premier quartile comme la médiane de la sous série formée des valeurs inférieures ou égales à la médiane et le troisième quartile comme la médiane de la sous série formée des valeurs supérieures ou égales à la médiane.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
Le \emphref{$n$\up{e} décile} est la plus petite valeur telle que $n\times 10$ \% des effectifs au moins lui soient inférieurs ou égales.
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Définition}
Un \emphref{diagramme} en boîte représente les caractéristiques statistiques suivantes :
\begin{itemize}
\nouvitem minimum et maximum ;
\nouvitem médiane ;
\nouvitem le premier et le troisième quartile ;
\nouvitem le premier et le neuvième décile.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On fait parfois figurer le minimum et le maximum de la série au lieu des premier et neuvième déciles.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{statistiquescours.png}
\end{center}


\section{Caractéristiques de dispersion}

On considère une série statistique $(n_i ; x_i)_{i=1}^{p}$ d'effectif total $N=\sum_{i=1}^{p}n_i$.


\defref{variance}{}
\begin{encadrer}{Définition}
La \emphref{variance} de la série est le nombre noté $V$ défini par :
$$V=\frac{n_1(x_1-\bar{x})^2+n_2(x_2-\bar{x})^2+\ldots+n_k(x_k-\bar{x})^2}{N}$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
$$V=\frac{n_1x_1^2+n_2x_2^2+\ldots+n_kx_k^2}{N}-\bar{x}^2$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\end{sanscadresansflush}

\begin{align*}
V & =\frac{n_1(x_1-\bar{x})^2+\ldots +n_k(x_k-\bar{x})^2}{N} \\
V & =\frac{1}{N}(n_1(x_1^2-2\times x_1\times \bar{x}+\bar{x}^2)+\ldots +n_k(x_k^2-2\times x_k\times \bar{x}+\bar{x}^2)) \\
V & =\frac{1}{N}(n_1x_1^2+\ldots +n_kx_k^2-2\times \bar{x}(x_1+\ldots+x_k)+\bar{x}^2+\ldots +\bar{x}^2) \\
V & =\frac{n_1 x_1^2+\ldots +n_k x_k^2}{N}-2\times \bar{x}^2\times \frac{x_1+\ldots+x_k}{N}+\frac{\bar{x}^2+\ldots +\bar{x}^2}{N} \\
V & =\frac{n_1x_1^2+\ldots +n_k x_k^2}{N}-2\times \bar{x}^2+\frac{N\times \bar{x}^2}{N} \\
V & =\frac{n_1x_1^2+\ldots +n_kx_k^2}{N}-2\times \bar{x}^2+\bar{x}^2 \\
V & =\frac{n_1x_1^2+n_2x_2^2+\ldots +n_kx_k^2}{N}-\bar{x}^2 \\ 
\end{align*}

\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tout réel $x$, on a :
$$ \sum_{i=1}^{p}n_i(x_i-x)^2 \geq \sum_{i=1}^{p}n_i(x_i-\bar{x})^2$$
La variance minimise donc la distance des valeurs du caractère à la moyenne, c'est donc un indicateur approprié pour mesurer la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $f$ définie par $f(x)=\sum_{i=1}^{p}n_i(x_i-x)^2$ pour tout réel $x$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On a $f'(x)=-\sum_{i=1}^{p}2n_i(x_i-x)=-2\sum_{i=1}^{p}n_ix_i+2x\sum_{i=1}^{p}x_i=-2\sum_{i=1}^{p}n_ix_i+2Nx$.

Donc $f'(x)\leq 0 \Leftrightarrow -\sum_{i=1}^{p}n_ix_i+aN\leq 0 \Leftrightarrow x\leq \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i \Leftrightarrow x\leq \bar{x}$.
Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ; \bar{x}]$ et croissante sur $[\bar{x};+\infty [$ donc minimale pou $x=\bar{x}$.
\end{sanscadre}

\defref{ecarttype}{}
\begin{encadrer}{Définition}
\emphref{L'écart-type} de la série statistique est le nombre noté $\sigma$ défini par :
$$\sigma=\sqrt{V}$$
\end{encadrer}

\defref{interquartile}{}
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{intervalle inter quartile} l'intervalle [$Q_1$;$Q_2$] et \emphref{écart inter quartile} le nombre $Q_3-Q_1$.
\end{encadrer}

\section{Transformation affine de valeurs}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ et $b$ deux réels et $x_i$ pour $i$ allant de 1 à $p$ le valeurs non nécessairement distinctes d'une série statistique.

On note $\bar{x}$ sa moyenne, $s$ son écart type, $V$ sa variance, $M_e$, $Q_1$ et $Q_3$ sa médiane et ses quartiles. 

On définit alors une nouvelle série en posant $X_i=ax_i+b$.

La moyenne de la nouvelle série est alors $a\bar{x}+b$, sa variance $a^2V$, son écart type $\left| a\right| s$ et, si $a>0$, son premier quartile est $aQ_1+b$, sa médiane $aM_e+b$, son troisième quartile $aQ_2+b$ et son écart inter quartile est $a(Q_3-Q_1)$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{align*}
\overline{aX_i+b} & =\frac{(aX_1+b)+(aX_2+b)+\ldots+(aX_p+b)}{N}\\
 & =\frac{a(X_1+X_2+\ldots+X_p)+Nb}{N}\\
 & =a\frac{X_1+X_2+\ldots+X_p}{N}+\frac{Nb}{N}\\
 & =a\bar{X}+b
\end{align*}

D'autre part,
\begin{align*}
\frac{\sum_{i=1}^{p}(X_i-\bar{X})^2}{N} & =\frac{\sum_{i=1}^{p}(ax_i+b-a\bar{x}+b)^2}{N}\\
 & =\frac{\sum_{i=1}^{p}(a(x_i-\bar{x}))^2}{N}\\
 & =a^2\frac{\sum_{i=1}^{p}(x_i-\bar{x})^2}{N}\\
 & =a^2V
\end{align*}
D'où l'écart type de la série des $X_i$ est donnée par $\sqrt{a^2V}=\left|a\right|\sqrt{V}=\left|a\right|s$.

Les propriétés de la médiane et des quartiles découlent directement de la définition et de la conservation de l'ordre puisque $a>0$.
\end{sanscadresansflush}

\end{document}
