Symétrie axiale cours 6e

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance des extrémités du segment ;
Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

1.2.2 Bissectrice d’un angle

2 Figures symétriques

2.1 Expérience

Première définition :

Les triangles ABC et A'B'C' dont symétriques par rapport à la droite (d). Le point A' est le symétrique du point A.

2.2 Définition et propriétés

Tout point de la droite (d) est son propre symétrique par rapport à la droite (d).

3 Figures usuelles et symétrie axiale

3.1 Triangles

Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux ;
Si un triangle a deux angles égaux, alors c’est un triangle isocèle ;
Si un triangle est équilatéral, alors ses angles sont égaux ;
Si un triangle a ses trois angles égaux, alors c’est un triangle équilatéral.

Preuve (hors programme) :

Le triangle est isocèle. La médiatrice de la base est un axe de symétrie. On en conclut que les angles à la base sont symétriques par rapport à la médiatrice de la base. Or, la symétrie axiale conserve les angles donc les angles à la bases sont égaux.
Soit ABC un triangle tel que = . On considère la médiatrice (d) du segment [AB]. A et B sont symétriques par rapport à (d). Soit C' le symétrique de C par rapport à (d). La symétrie axiale conserve les mesures d’angles donc = d’où = . De même, comme la symétrie axiale conserve les mesures d’angles, = , d’où l’on déduit que = . De = et = on déduit que ABC et ABC' sont égaux (cas d’égalité des triangles implicite) et que C = C'. B est le symétrique de A par rapport à la droite (d) et C' celui de C ; la symétrie axiale conserve les longueurs donc AC = BC' et comme C = C' on a donc AC = BC, le triangle est donc isocèle de sommet principal C.
Se démontre de même que pour le cas d’un triangle isocèle.
De même que dans le cas d’un triangle isocèle.

3.2 Quadrilatères

Un rectangle a ses côtés opposés égaux ;
Un rectangle a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu ;
Un losange a ses angles opposés égaux ;
Un losange a ses diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu ;
Un carré a ses diagonales de même longueur et qui se coupent perpendiculairement en leur milieu.

Preuve (hors programme) :

Soit ABCD un rectangle. On considère la médiatrice (d) du côté [AB]. A et B sont donc symétriques par rapport à (d). La droite symétrique de (AB) est donc (AB) elle-même. La symétrie axiale conserve les angles donc la symétrique de la droite (AD) perpendiculaire à la droite (AB) en A est donc la droite perpendiculaire à (AB) en B, c’est la droite (BC). (DC) et (AB) sont perpendiculaires à (AD). Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles donc (DC) et (AB) sont parallèles. (d) est perpendiculaire à (AB) et (DC) et (AB) sont parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre donc (d) et (DC) sont perpendiculaires. (d) est perpendiculaire à (DC) donc (DC) est sa propre symétrique par rapport à (d). Le symétrique de D est l’intersection de la symétrique de (DC) et et de (AD), c’est donc l’intersection de (DC) et de (BC), c’est donc C. La symétrie axiale conserve les longueurs donc BC = AD. On montre de même en utilisant la médiatrice (d') de [AD] que AB = DC.
Soit O le point d’intersection de (d) et (d'). Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance des extrémités de ce segment donc OA = OB et OA = OD. O est son propre symétrique par rapport à (d) et on a vu que C est le symétrique de D . La symétrie axiale conserve les longueurs donc OD = OC. D’où OA = OB = OC = OD. Le segment symétrique de [AC] est [BD] par rapport à (d) donc les diagonales ont même longueur.

Symétrie axiale cours 6e

Table des matières

1 Axes de symétrie

1.1 Approche expérimentale

1.2 Axes de symétrie particuliers

1.2.1 Médiatrice d’un segment