Nombres en criture fractionnaire cours 5e

Nombres en écriture fractionnaire cours 5e

F.Gaudon

31 décembre 2004

Table des matières

1 Égalité de quotients

Un nombre en écriture fractionnaire ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre non nul. C’est à dire, pour tous les nombres k, a et b avec k et b non nuls,

a k × a a ÷ k --= ------ = ------ b k× b b ÷ k

Preuve :

Par définition,

k × a ------× k× b = k× a k× b

donc

k-×-a-× b = a k× b

donc

est un nombre qui, multiplié par b donne a. Or, a
b

est le nombre qui, multiplié par b donne a. D’où k×k×-ab-

Exemples :

•	A =
	A =
	A =

•	B =
	B =
	B =
	En écrivant que = on a simplifié la fraction .

2 Comparaison de quotients

2.1 Nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur

Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur.

Exemples :

•	= 0, 375
	= 0, 625
	et <
•	>

2.2 Nombres en écriture fractionnaire de dénominateurs différents

On ne peut pas comparer simplement en regardant les numérateurs et les dénominateurs des nombres sous forme fractionnaire ayant des dénominateurs différents.

2.2.1 Comparaison par réduction au même dénominateur

Si l’un des nombres en écriture fractionnaire a un dénominateur multiple de l’autre, on utilise la règle de conservation des égalités de quotients pour obtenir le même dénominateur.

Exemple :

Comparaison de 9
7 et de 53
42

A =

A =

A =

54 > 53 donc 5442

2.2.2 Comparaison par utilisation de l’écriture décimale

Exemple :

On calcule,

1, 29

1, 26

donc

3 Multiplication de quotients

Pour calculer le produit de deux nombres relatifs en écriture fractionaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

a c a × c --× --= ----- (b /= 0, d /= 0) b d b × d

Preuve :

× × b × d	= × b × × d
	= a × c

donc

est un nombre qui, multiplié par b × d donne a × c, c’est donc le quotient de a × c par b × d.

Exemple :

• ×	=
	=
	=
	=
	=
	=

• ×	=
	=
	=
	=

Cas particulier :

4 ×	= ×
	=

4 Addition et soustraction de quotients

4.1 Cas où les dénominateurs sont les mêmes

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écritures fractionnaire de même dénominateur :

on additionne (ou on soustrait) les numérateurs
on garde le dénominateur commun

a- c a-+-c b + b = b (b /= 0)

a c a - c -- - = ----- (b /= 0) b b b

Preuve :

( + ) × b	= × b + × b distributivité
	= a + c définition des quotients

donc

est un nombre qui, multiplié par b donne a + c. Or a+b
c

est le nombre qui, multiplié par b donne a + c. D’où a
b

Exemple :

• A	= +
A	=
A	=

4.2 Cas où les dénominateurs sont différents

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écritures fractionnaire de dénominateurs différents, on écrit d’abord les deux nombres avec le même dénominateur en utilisant la règle de conservation des égalités de quotients.

Exemple :

• A	= +
	= +
	= +
	=