Définition :

Propriétés :

Preuve :

• Soit O le milieu de [AC]. On a donc C symétrique de A par rapport à O. On sait que C est le symétrique de A par rapport à O. D’après la propriété : ”l’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle ”, on conclut que la droite symétrique de (AB) est la droite passant par C et parallèle à (AB) c’est à dire (CD).
  De même on montre que les droites (BC) et (AD) sont symétriques.
  Donc ABCD est son propre symétrique et O est un centre de symétrie.
  
• De plus, le symétrique de B appartient à la droite symétrique de (AB) c’est à dire (CD) et appartient à la droite symétrique de (BC) c’est à dire (AD) donc le symétrique de B est l’intersection de (CD) et (AD) c’est à dire D.
  Par conséquent O est le milieu de [BD] et les diagonales se coupent donc en leur milieu.
• On sait que le symétrique du segment [AB] est [CD] et le symétrique de [BC] est [AD] donc d’après la propriété ”la symétrie centrale conserve les longueurs”, on conclut que les côtés opposés ont même longueur.
• On sait que A et C sont symétriques, B et D sont symétriques donc que le symétrique de l’angle est . D’après la propriété ”la symétrie centrale conserve les angles” on conclut que les angles et sont égaux.

Propriété :

Application :

Construction d’un parallélogramme connaissant trois sommets.

Propriété :

Preuve :

Soit O le milieu de [BD] et de [AC]. B et D sont donc symétriques par rapport à O et A et C sont symétriques par rapport à O.
La droite symétrique de (AB) est donc (CD) et la droite symétrique de (BC) est (AD).
D’après la propriété ”La figure symétrique d’une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle”, on en conclut que (AB) et (CD) sont parallèles et (BC) et (AD) sont parallèles. D’où ABCD est un parallélogramme.

Application :

Construction d’un parallélogramme connaissant son centre et un côté.

Propriété :

Preuve :

admis

Application :

Construction à la règle et au compas d’un parallélogramme connaissant trois sommets.

Propriété :

Preuve :

admis

Définition :

Propriétés :

Propriétés :

Preuve :

• C’est la définition d’un losange.
• Soit ABCD un parallélogramme ayant deux côtés AB et BC égaux. O sait que ABCD est un parallélogramme donc d’aprè la propriété ”Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont égaux”, on en déduit que AB=CD et que BC=AD. Comme AB=BC, on a finalement AB=BC=CD=AD donc ABCD est un losange.
• Soit ABCD un quadrilatère dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent perpendiculairement en leur milieu O. On sait que la diagonale [AC] coupe le segment [BD] en son milieu perpendiculairement donc (AC) est la médiatrice du segment [BD]. D’après la propriété ”Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance des extrémités du segment”, on en déduit que A est à égale distance de B et D c’est à dire que AB=AD et de même C est à égale distance de B et D c’est à dire BC=CD. De même (BD) coupe le segment [AC] en son milieu perpendiculairement donc (BD) est la médiatrice de [AC] et on en déduit d’après la propriété déjà citée que AB=BC et AD=DC. Finalement, de AB=AD, AB=BC et BC=CD on déduit que AB=AD=BC=CD donc le quadrilatère ABCD est un losange.
• Soit ABCD un parallélogramme ayant ses diagonales perpendiculaire. On sait donc que ABCD est un parallélogramme, donc d’après la propriété ”Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu” donc ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. Finalement, le quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu donc d’après la propriété démontrée au point précédent c’est un losange.

Définition :

Propriétés :

Propriétés :

Preuve :

• Soit ABCD un quadrilatère ayant les trois angles , et droits. On sait donc que (AB) est perpendiculaire à (BC) et que (CD) est perpendiculaire à (BC). D’après la propriété ”si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles”, on en déduit que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On sait donc que (AD) et (CD) sont perpendiculaires et que (AB) et (CD) sont parallèles donc d’après la propriété ”si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre” on en déduit que les droites (AD) et (AB) sont perpendiculaires c’est à dire que le quadrilatère ABCD a quatre angles droits.
• Soit ABCD un parallélogramme ayant l’angle droit. D’après la propriété ”si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés sont égaux” on en déduit que est un angle droit. On sait que ABCD est un parallélogramme donc d’après la propriété ”si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles” on en déduit que (AB) et (CD) sont parallèles et que (BC) et (AD) sont parallèles. On sait donc que (AB) et (CD) sont parallèles et que (BC) et perpendiculaire à (AB). D’après la propriété ”si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre” on en déduit que (BC) est perpendiculaire à (CD) c’est à dire que l’angle est droit. Le quadrilatère ABCD a donc trois angles droits, d’après la propriété justifiée précédemment, on en déduit que c’est un rectangle.
• Soit ABCD un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur. On appelle O e point d’intersection de ces diagonales. Les triangles DOA et BOA sont donc isocèles en O. Notons x la mesure des deux angles à la base de AOD et y celles des angles à la base de OBC. x + y est alors une mesure de l’angle .
  D’après la propriété ”Dans un triangle, la somme des angles est égale 180º ” on en déduit que la somme de la mesure des angles des deux triangles AOD et OBC est égale à 2 × 180 = 360 donc x + x + + y + y + = 360^o c’est à dire 2x + 2y + = 360^o. Or les points D,O et B sont alignés donc = 180^o et 2x + 2y + 180 = 360^o d’où 2x + 2y = 180 et 2 × (x + y) = 180 en factorisant. Par conséquent x + y = 180 ÷ 2 c’est à dire = 90^o. Le parallélogramme ABCD a donc un angle droit, c’est un rectangle.
• Si ABCD est un tel quadrilatère, d’après la propriété ”Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme” on en déduit que ABCD est un parallélogramme. On sait que ABCD est un parallélogramme ayant ses diagonales de même longueur donc d’après la propriété précédente, on en déduit que c’est un rectangle.