Nombres relatifs cours 5e

Pour graduer une droite, on choisit un point origine, un sens et une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.

On peut repérer les points d’une droite graduée par un nombre relatif appelé abscisse du point.

L’abscisse du point A est -4, celle de B est +3 ou 3.

1.2 Repérage dans le plan

Pour construire un repère du plan, on trace deux droites graduées perpendiculaires et de même origine.

Un point M est repérer par deux nombres x_M et y_M appelés les coordonnées du point :

l’abscisse x_M est lue sur l’axe horizontal ;
l’ordonnée y_M est lue sur l’axe vertical.

On note M(x_M; y_M).

A a pour abscisse -3 et pour ordonnée +2, ses cordonnées sont (-3 ;+2).

2 Comparaison de nombres relatifs

2.1 Distance à zéro

La Distance à zéro d’un nombre est la distance par rapport à l’origine d’une droite graduée du point dont il est l’abscisse.

La distance à zéro de +3 est OA c’est à dire 3.
La distance à zéro de -2,5 est OB c’est à dire 2,5.

2.2 Méthode de comparaison de nombres relatifs

Si deux nombres sont négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.

Si deux nombres sont de signe contraire, le plus grand est le nombre positif.

3 Addition de nombres relatifs

3.1 Règle d’addition de deux nombres relatifs

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :

on additionne les distances à zéro des deux nombres ;
on met au résultat le signe commun aux deux nombres.

(-2, 5) + (-4) = -6, 5
(+2, 5) + (+4) = +6, 5

Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :

on soustrait la plus petite distance à zéro à la plus grande ;
on met le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

(-2, 5) + (+4) = +1, 5
(+2, 5) + (-4) = -1, 5

3.2 Propriétés de l’addition

Si on change l’ordre des termes dans une addition, la somme ne change pas.

(-15) + (+4) = -11
(+4) + (-15) = -11

Si on regroupe des termes dans une addition, la somme ne change pas.

Exemple :

	(+2) + (-15) + (+7) + (-4)
=	(-13) + (+7) + (-4)
=	(-6) + (-4)
=	- 10

	(+2) + (-15) + (+7) + (-4)
=	(+2) + (+7) + (-15) + (-4)
=	(+9) + (-19)
=	- 10

3.3 Opposé d’un nombre relatif

Deux nombres relatifs a et b sont opposés si leur somme vaut 0.

+2,5 et -2,5 sont opposés car (-2, 5) + (+2, 5) = 0.

Tout nombre relatif admet pour unique opposé le nombre qui a la même distance à zéro mais est de signe contraire.

On le note opp(a).

Soit a un nombre relatif.
On a + (-a) = 0 donc a et -a sont opposés. Si b et b' sont deux opposé du même nombre a, on a + b = 0 et a + b' = 0 donc a + b = a + b'. Comme a et b sont opposé on obtient en ajoutant b a + b + b = a + b' + b c’est à dire b = a + b + b' ou encore b = b' donc a n’admet qu’un seul opposéqui est -a.

Exemples :

-2,5 est l’opposé de 2,5 ;
3,5 est l’opposé de -3,5 ;
l’opposé de l’opposé de 6,7 est 6,7.

4 Soustraction de nombres relatifs

Propriété et définition :

La différence b-a de deux nombres relatifs est le nombre qui ajouté à a donne b.

Il existe un nombre qui ajouté à a donne b. En effet, a + (opp(a) + b) = a + opp(a) + b = 0 + b = b donc opp(a) + b est un nombre qui ajouté à a donne b.
Il n’existe qu’un seul nombre qui ajouté à a donne b. En effet, si c et c' sont deux nombres qui ajoutés à a donnent b alors a + c = b et a + c' = b donc a + c + opp(a) = b + opp(a) et a + c' + opp(a) = b + opp(a) c’est à dire c = b + opp(a) et c' = b + opp(a) donc c = c'.

Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé. C’est à dire,

b- a = b + (- a)

Exemples :

- A	= (-2) - (+9)
A	= (-2) + (-9)
A	= -11
- B	= (-2) - (-9)
B	= (-2) + (+9)
B	= +7

5 Distance sur une droite graduée

A et B étant deux points d’une droite graduée, la distance AB est la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite.

On peut supposer quitte à échanger les points A et B que x_A < x_B.
Si x_A > 0 et x_B > 0 alors AB = x_B - x_B.
Si x_A < 0 et x_B > 0 alors AB = OA + OB = (-x_A) + x_B = x_B - x_A.
Si x_A < 0 et x_B < 0 alors AB = (-x_A) - (-x_B) = -x_A + x_B = x_B - x_A.

AB	= x_B - x_A
AB	= (+3, 5) - (-1, 5)
AB	= (+3, 5) + (+1, 5)
AB	= +5

6 Calculs avec des nombres relatifs

6.1 Calculs avec additions et soustractions successives

Pour effectuer un enchaînement de calculs avec des nombres relatifs, on se ramène à une somme de nombres relatifs puis on regroupe les termes positifs et les termes négatifs.

Exemple :

A	= (-8) + (+15) - (+7) + (-3)
A	= (-8) + (+15) + (-7) + (-3)
A	= (-8) + (-7) + (-3) + (+15)
A	= (-18) + (+15)
A	= 0

6.2 Simplification d’écritures

Pour simplifier l’écriture d’une suite d’additions et de soustractions :

les nombres négatifs peuvent être écrits sans signe et sans parenthèse ;
le nombre de gauche peut être écrit sans parenthèse.

Exemples :

- A	= (-8) + (+15) - (+7) + (-3)
A	= -8 + 15 - 7 + (-3)
A	= -8 + 15 - 7 - (+3)
A	= -8 + 15 - 7 - 3
- B	= (+6) - (+9)
B	= 6 - 9
- C	= (+9) - (+6)
C	= 9 - 6