Nombres relatifs cours 5e

F.Gaudon

31 décembre 2004

Table des matières

1 Repérage
 1.1 Repérage sur une droite graduée
 1.2 Repérage dans le plan
2 Comparaison de nombres relatifs
 2.1 Distance à zéro
 2.2 Méthode de comparaison de nombres relatifs
3 Addition de nombres relatifs
 3.1 Règle d’addition de deux nombres relatifs
 3.2 Propriétés de l’addition
 3.3 Opposé d’un nombre relatif
4 Soustraction de nombres relatifs
5 Distance sur une droite graduée
6 Calculs avec des nombres relatifs
 6.1 Calculs avec additions et soustractions successives
 6.2 Simplification d’écritures

1 Repérage

1.1 Repérage sur une droite graduée

Pour graduer une droite, on choisit un point origine, un sens et une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.

Définition :


On peut repérer les points d’une droite graduée par un nombre relatif appelé abscisse du point.


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Exemple :

L’abscisse du point A est -4, celle de B est +3 ou 3.

1.2 Repérage dans le plan

Pour construire un repère du plan, on trace deux droites graduées perpendiculaires et de même origine.

Définition :


Un point M est repérer par deux nombres xM et yM appelés les coordonnées du point :

  • l’abscisse xM est lue sur l’axe horizontal ;
  • l’ordonnée yM est lue sur l’axe vertical.

On note M(xM; yM).


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Exemple :

A a pour abscisse -3 et pour ordonnée +2, ses cordonnées sont (-3 ;+2).

2 Comparaison de nombres relatifs

2.1 Distance à zéro

Définition :


La Distance à zéro d’un nombre est la distance par rapport à l’origine d’une droite graduée du point dont il est l’abscisse.


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Exemples :

2.2 Méthode de comparaison de nombres relatifs

Propriété :


Si deux nombres sont négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.


Exemple :

-3, 5 < -2

Propriété :


Si deux nombres sont de signe contraire, le plus grand est le nombre positif.


Exemple :

-3, 5 < 4

3 Addition de nombres relatifs

3.1 Règle d’addition de deux nombres relatifs

Propriété :


Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :

  • on additionne les distances à zéro des deux nombres ;
  • on met au résultat le signe commun aux deux nombres.


Exemples :

Propriété :


Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :

  • on soustrait la plus petite distance à zéro à la plus grande ;
  • on met le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.


Exemples :

3.2 Propriétés de l’addition

Propriété :


Si on change l’ordre des termes dans une addition, la somme ne change pas.


Exemples :

Propriété :


Si on regroupe des termes dans une addition, la somme ne change pas.


Exemple :

(+2) + (-15) + (+7) + (-4)
= (-13) + (+7) + (-4)
= (-6) + (-4)
= - 10
ou
(+2) + (-15) + (+7) + (-4)
= (+2) + (+7) + (-15) + (-4)
= (+9) + (-19)
= - 10

3.3 Opposé d’un nombre relatif

Définition :


Deux nombres relatifs a et b sont opposés si leur somme vaut 0.


Exemple :

+2,5 et -2,5 sont opposés car (-2, 5) + (+2, 5) = 0.

Propriété :


Tout nombre relatif admet pour unique opposé le nombre qui a la même distance à zéro mais est de signe contraire.

On le note opp(a).


Preuve :

Soit a un nombre relatif.
On a + (-a) = 0 donc a et -a sont opposés. Si b et b' sont deux opposé du même nombre a, on a + b = 0 et a + b' = 0 donc a + b = a + b'. Comme a et b sont opposé on obtient en ajoutant b a + b + b = a + b' + b c’est à dire b = a + b + b' ou encore b = b' donc a n’admet qu’un seul opposéqui est -a.

Exemples :

4 Soustraction de nombres relatifs

Propriété et définition :


La différence b-a de deux nombres relatifs est le nombre qui ajouté à a donne b.


Preuve :

Il existe un nombre qui ajouté à a donne b. En effet, a + (opp(a) + b) = a + opp(a) + b = 0 + b = b donc opp(a) + b est un nombre qui ajouté à a donne b.
Il n’existe qu’un seul nombre qui ajouté à a donne b. En effet, si c et c' sont deux nombres qui ajoutés à a donnent b alors a + c = b et a + c' = b donc a + c + opp(a) = b + opp(a) et a + c' + opp(a) = b + opp(a) c’est à dire c = b + opp(a) et c' = b + opp(a) donc c = c'.

Propriété :


Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé. C’est à dire,

b-  a = b + (- a)

Exemples :

- A = (-2) - (+9)
A = (-2) + (-9)
A = -11
- B = (-2) - (-9)
B = (-2) + (+9)
B = +7

5 Distance sur une droite graduée

Propriété :


A et B étant deux points d’une droite graduée, la distance AB est la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite.


Preuve :

On peut supposer quitte à échanger les points A et B que xA < xB.
Si xA > 0 et xB > 0 alors AB = xB - xB.
Si xA < 0 et xB > 0 alors AB = OA + OB = (-xA) + xB = xB - xA.
Si xA < 0 et xB < 0 alors AB = (-xA) - (-xB) = -xA + xB = xB - xA.

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Exemple :

AB = xB - xA
AB = (+3, 5) - (-1, 5)
AB = (+3, 5) + (+1, 5)
AB = +5

6 Calculs avec des nombres relatifs

6.1 Calculs avec additions et soustractions successives

Méthode :


Pour effectuer un enchaînement de calculs avec des nombres relatifs, on se ramène à une somme de nombres relatifs puis on regroupe les termes positifs et les termes négatifs.


Exemple :

A = (-8) + (+15) - (+7) + (-3)
A = (-8) + (+15) + (-7) + (-3)
A = (-8) + (-7) + (-3) + (+15)
A = (-18) + (+15)
A = 0

6.2 Simplification d’écritures

Notation :


Pour simplifier l’écriture d’une suite d’additions et de soustractions :

  • les nombres négatifs peuvent être écrits sans signe et sans parenthèse ;
  • le nombre de gauche peut être écrit sans parenthèse.


Exemples :

- A = (-8) + (+15) - (+7) + (-3)
A = -8 + 15 - 7 + (-3)
A = -8 + 15 - 7 - (+3)
A = -8 + 15 - 7 - 3
- B = (+6) - (+9)
B = 6 - 9
- C = (+9) - (+6)
C = 9 - 6