Angles

F.Gaudon

31 décembre 2004

Table des matières

1 Différents types d’angles
 1.1 Angles adjacents
 1.2 Angles opposés par le sommet
 1.3 Angles complémentaires
 1.4 Angles supplémentaires
2 Parallélisme et angles
3 Somme des angles d’un triangle
4 Application aux triangles particuliers

1 Différents types d’angles

1.1 Angles adjacents

Définition :


Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté commun et s’ils sont situés de part et d’autre du côté commun.


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1.2 Angles opposés par le sommet

Définition :


Deux angles sont opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et s’ils sont symétriques par rapport au sommet commun.


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Propriété :


Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont même mesure.


1.3 Angles complémentaires

Définition :


Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90º .


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1.4 Angles supplémentaires

Définition :


Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut 180º .


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Définition :


Deux angles sont alternes internes s’ils sont situés de part et d’autre d’une droite sécante à deux autres droites et entre ces deux droites.


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Définition :


Deux angles sont correspondants s’ils sont situés du même côté d’une droite sécante à deux autre droites, l’un étant entre les deux droites, l’autre pas.


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2 Parallélisme et angles

Propriété :


  • Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles, alors les angles alternes-internes formés sont égaux ;
  • Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors elles sont parallèles.


Preuve :

Propriété :


  • Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles, alors les angles correspondants formés sont égaux ;
  • Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles.


Preuve :

3 Somme des angles d’un triangle

Propriété :


La somme des angles d’un triangle est égale à 180º .


Preuve :

Soit ABC un triangle, I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. On appelle B’ le symétrique de B par rapport à J et C’ le symétrique de C par rapport à I.
Les points C’, A et B ont donc pour symétriques par rapport à I les points C, B et A. Par conséquent,       '
BAC, est le symétrique de ABC par rapport à I et donc d’après la propriété ”Si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors ils ont même mesure on en déduit que BAC' = ABC. De plus (AC’) est la droite symétrique de (BC) par rapport à I donc d’après la propriété ”Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles” on en conclut que (AC’) et (BC) sont parallèles.
Les points B’, A et C ont pour symétriques les points B, C et A par rapport à J. Par conséquent, B'AC et BCA sont symétriques par rapport à J et par la même propriété que précédemment, B'AC = BCA. En outre, (AB’) et (BC) sont symétriques par rapport à J donc elles sont parallèles.
On sait donc que (AC’) et (BC) sont parallèles et que (AB’) et (BC) sont parallèles donc d’après la propriété ”Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles”, on en déduit que les droites (AC’) et (AB’) sont parallèles et comme elles ont le point A en commun, elles sont confondues. D’où A, B’ et C’ sont alignés.
En outre, on a donc

B'AC  +  BAC  +  BAC'=    B'AC'
donc
BCA   + ACB   + ABC   = 180º

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4 Application aux triangles particuliers

Propriétés pour les triangles isocèles :


  • Si un triangle est isocèle, alors les angles à la base sont égaux ;
  • Si un triangle a deux angles égaux, alors c’est un triangle isocèle.


Preuve :

Propriétés pour les triangles équilatéraux :


  • Si un triangle est équilatéral, alors ses angles mesurent 60º  ;
  • Si un triangle a trois angles égaux, alors c’est un triangle équilatéral.


Propriété du triangle rectangle :


Les deux angles aigus d’un triangles rectangle sont complémentaires.