Angles

Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles, alors les angles alternes-internes formés sont égaux ;
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors elles sont parallèles.

Soient (d₁) et (d₂) deux droites parallèles coupées par une sécante en deux points A et B. Soit I le milieu de [AB]. Les deux points A et B sont donc symétriques par rapport au point I. Le point A appartient à la droite (d₁) donc son symétrique B appartient à la droite symétrique de la droite (d₁) par rapport au point I. D’après la propriété ”Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles entre elles” on en déduit que la droite symétrique de (d₁) est parallèle à (d₁). La droite symétrique de (d₁) est donc la droite parallèle à (d₁) et passant par le point B : c’est la droite (d₂). Par conséquent, les angles alternes internes formés sont symétriques par rapport à I et ont donc même mesure.
admis

Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles, alors les angles correspondants formés sont égaux ;
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles.

Soient (d₁) et (d₂) deux droites parallèles coupées par une sécante en deux points A et B. En considérant l’angle opposé à l’un des deux angles correspondants on obtient des angles alternes-internes. La propriété énoncée plus haut permet donc d’affirmer que ces angles alternes-internes sont égaux et par conséquent que les angles correspondants le sont aussi.
On se ramène au cas des angles alternes-internes en considérant l’angle opposé à l’un des deux angles correspondant.

3 Somme des angles d’un triangle

Soit ABC un triangle, I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. On appelle B’ le symétrique de B par rapport à J et C’ le symétrique de C par rapport à I.
Les points C’, A et B ont donc pour symétriques par rapport à I les points C, B et A. Par conséquent, '
BAC , est le symétrique de ABC par rapport à I et donc d’après la propriété ”Si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors ils ont même mesure on en déduit que BAC' = ABC . De plus (AC’) est la droite symétrique de (BC) par rapport à I donc d’après la propriété ”Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles” on en conclut que (AC’) et (BC) sont parallèles.
Les points B’, A et C ont pour symétriques les points B, C et A par rapport à J. Par conséquent, B'AC et BCA sont symétriques par rapport à J et par la même propriété que précédemment, B'AC = BCA . En outre, (AB’) et (BC) sont symétriques par rapport à J donc elles sont parallèles.
On sait donc que (AC’) et (BC) sont parallèles et que (AB’) et (BC) sont parallèles donc d’après la propriété ”Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles”, on en déduit que les droites (AC’) et (AB’) sont parallèles et comme elles ont le point A en commun, elles sont confondues. D’où A, B’ et C’ sont alignés.
En outre, on a donc

B'AC + BAC + BAC'= B'AC'

donc

BCA + ACB + ABC = 180º

4 Application aux triangles particuliers

Propriétés pour les triangles isocèles :

Soit ABC un triangle isocèle. Soit I le milieu de [AB] et (d) la médiatrice de [BC]. Comme AB=AC, d’après la propriété ”Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment”, on en déduit que A appartient à (d). A est donc son propre symétrique par rapport à (d). B et C sont symétriques par rapport à (d) donc et sont symétriques par rapport à (d). D’après la propriété ”si deux angles sont symétriques par rapport à une droite, alors ils ont même mesure” on en déduit que = .
Soit ABC un triangle ayant les angles et égaux. Soit I le milieu du segment [BC] et (d) la médiatrice de [BC]. On appelle A’ l’intersection de (d) avec (AB).
B et C sont symétriques par rapport à (d). Le symétrique d’un angle par rapport à une droite est un angle de même mesure donc a pour symétrique par rapport à (d) et donc le symétrique A’ lui-même de A’ appartient au côté [CA). A’ appartient donc à [CA) mais aussi par construction à (AB) donc A’ est confondu avec A. Comme A’ c’est à dire A appartient à la médiatrice (d) de (BC), d’après la propriété ”Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à égales distance des extrémités d’un segment” on en déduit que AB=AC c’est à dire ABC est un triangle isocèle en A.