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Théorème :
Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse. |
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Hypothèse :
ABC est un triangle rectangle en A.
Conclusion :
AB2 + AC2 = BC2.
Preuve :
admis
Théorème :
Si dans un triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l’hypoténuse est le côté le plus long. |
Hypothèse :
AB2 + AC2 = BC2
Conclusion :
ABC est un triangle rectangle.
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Preuve :
Soit ABC un triangle tel que BC2 = AC2 + AB2. Soit EBC un triangle rectangle en E tel que EB = AB. Remarquons d’abord qu’un tel triangle EBC existe : en effet, d’après la propriété ”si un triangle a pour extrémités un diamètre d’un cercle et un point de ce cercle alors, ce triangle est rectangle en ce point”, il suffit de prendre E à l’intersection du cercle de diamètre [BC] et du cercle de centre B et de rayon AB (le rayon AB étant plus petit que BC, les deux cercles sont sécants).
EBC est un triangle rectangle en E donc d’après le théorème de Pythagore,
on a BC2 = EB2 + EC2. Comme EB = AB on a donc BC2 = AB2 + EC2
et EC2 = BC2 - AB2. Mais de BC2 = AC2 + AB2 on déduit aussi
AC2 = BC2 - AB2. Par conséquent, EC = AC. De EC = AC et de la
propriété ”si un point est à égale distance des extrémités d’un segment,
alors il appartient à la médiatrice de ce segment” on déduit que C
appartient à la médiatrice du segment [AE]. De EB = AB on déduit de
même que B apparatient à la médiatrice de [AE]. Par conséquent, la
médiatrice de [AE] est la droite (BC) et les points A et E sont symétriques
par rapport à (BC). La symétrie axiale conserve les angles donc l’angle
a même mesure que l’angle 
c’est à 90º. Le triangle ABC est
donc rectangle en A.
Exemple :
D’une part,
| AB2 + AC2 | = 32 + 42 | ||
| AB2 + AC2 | = 9 + 16 | ||
| AB2 + AC2 | = 25 | ||
| BC2 = 52 | ||
| BC2 = 25 | ||
