Puissances cours 4e

F.Gaudon

2 janvier 2005

Table des matières

1 Puissance d’un nombre a
 1.1 Puissance d’exposant un entier positif
 1.2 Puissance d’exposant un entier négatif
 1.3 Opérations sur les puissances
2 Cas particulier : les puissances de 10
 2.1 Calcul d’une puissance de 10
 2.2 Formules
 2.3 Produit d’un nombre par une puissance de 10
 2.4 Notation scientifique

1 Puissance d’un nombre a

1.1 Puissance d’exposant un entier positif

Définition :

Si n est un entier supérieur ou égal à 2 alors :

an = a × a × a × ... × a -------- -------- n fois
De plus a1 = a et a0 = 1.

Exemples :

23 = 2 × 2 × 2
= 8
mais
32 = 3 × 3
= 9
31 = 3
et
30 = 1
(-2)4 = 16
et
(-2)3 = -8

1.2 Puissance d’exposant un entier négatif

Définition :

Si a est un nombre non nul alors on note a-n l’inverse de an. Donc a-n = 1- an .

En particulier,

1 --= a-1 a

Exemples :

1- 8 = 1-- 23
= 2-3
= 0, 125
1 --- - 8 = 1 ---3 - 2
= -2-3
= -0, 125
10-4 = -1-- 104
= 0, 0001
- 10-4 = - 1 ---- 104
= -0, 0001

1.3 Opérations sur les puissances

Propriété :

Si a est un nombre non nul et m et n sont des entiers relatifs, alors :

am × an = am+n
m a--= am- n an
m n mn (a ) = a
En particulier,
an × a- n = a0 = 1

Exemples :

23 × 22 = 32
32 --- 33 = 9 --- 27
3-1 = 1- 3

Propriété :

Si a/=0, b/=0 et n est un entier relatif alors :

n n n (a × b) = a × b

Propriété :

En l’absence de parenthèses, les puissances sont effectuées en priorité sur les multiplications et les divisions.

Exemple :

A = -6 × 102 + 7-- 53
A = -6 × 100 + -7-- 125
A = -600 + 7 ---- 125
A = -600 + 0, 056
A = -599, 944

2 Cas particulier : les puissances de 10

2.1 Calcul d’une puissance de 10

Propriété :

Quel que soit l’entier n positif :

10n = 100 ...0 -- -- n z´eros
10 -n = 0,00 ...01 --- --- n z´eros

Exemples :

105 = 100000
10-5 = 0, 00001

2.2 Formules

n m m+n 10 × 10 = 10
(10n)m = 10mn
10m- m- n 10n = 10

2.3 Produit d’un nombre par une puissance de 10

Propriété :

Pour multiplier un nombre par 10n, on décale la virgule de n rangs vers la droite en rajoutant des zéros si nécessaire.

Pour multiplier un nombre par 10-n, on décale la virgule de n rangs vers la gauche en rajoutant des zéros si nécessaire.

Exemples :

25, 1 × 105 = 2510000
25, 1 × 10-1 = 0, 000251

2.4 Notation scientifique

Définition :

La notation scientifique d’un nombre décimal est de la forme :

a × 10n
avec :
  • a nombre décimal avec un seul chiffre non nul avant la virgule ;
  • n exposant entier relatif.

Exemples :

56000000 = 5, 6 × 107
- 98700 = -9, 8 × 104
0, 000078 = 7, 8 × 10-5
- 0, 00304 = -3, 04 × 10-3

Exemple de calcul en notation scientifique :

A- B = 1,2-×-104- 4 × 103
A -- B = 12 × 10-1 × 104 ---------------- 4 × 103
A- B = 3 × 10-1 × 104 × 10-3
A -- B = 3 × 100
A- B = 3