Operations sur les nombres relatifs cours 4e

Opérations sur les nombres relatifs cours 4e

F.Gaudon

2 janvier 2005

Table des matières

1 Multiplication des nombres relatifs
1.1 Règle des signes
1.2 Produit de plusieurs nombres relatifs
2 Division de deux nombres relatifs
2.1 Définition d’un quotient
2.2 Règle des signes pour les quotients

1 Multiplication des nombres relatifs

1.1 Règle des signes

Propriété :

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif.

c’est à dire de manière plus mnémotechnique :

(-) × (-)	= (+)
(+) × (+)	= (+)
(+) × (-)	= (-)
(-) × (+)	= (-)

Preuve :

Soient a et b deux nombres relatifs, on notera opp(a) l’opposé du nombre a.

Par définition, l’opposé d’un nombre a est le nombre noté opp(a) qui vérifie a + opp(a) = 0.

On a (a + opp(a)) × b	= a × b + opp(a) × b
	= 0 × b
	= 0

donc a × b et opp(a) × b sont opposés c’est à dire opp(a × b) = opp(a) × b.

D’après ce qui précède,

opp(a) × opp(b)	= opp(a × opp(b))
	= opp(opp(b) × a))
	= opp(opp(b × a))
	= a × b

Exemples :

• (-2) × (-2, 5)	= (+5)
	= 5

• 2 × 2, 5	= (+2) × (+2, 5)
	= (+5)
	= 5

• (-2) × 2, 5	= -5

1.2 Produit de plusieurs nombres relatifs

Propriété :

Un produit est positif lorsque le nombre de facteurs négatifs est pair.
Un produit est négatif lorsque le nombre de facteurs négatifs est impair.

Preuve :

On utilise la règle des signes plusieurs fois.

Exemples :

• (-4) × (-7, 5) × (-5) = -150
• (-4) × (-7, 5) × (-5) × 4 = -600
• (-4) × (-7, 5) × (-5) × 4 × 2 = -1200

2 Division de deux nombres relatifs

2.1 Définition d’un quotient

Définition :

Le quotient d’un nombre relatif a par un nombre relatif b (b0) est le nombre par lequel il faut multiplier b pour obtenir a.

C’est le résultat de la division de a par b. On le note . On a donc b × a
b = a.

Exemples :

• 4 × (-2, 5) = -10 donc = -2, 5
• --35
-7 = 5

2.2 Règle des signes pour les quotients

Propriété :

Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre négatif.
Le quotient de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.

Preuve :

Soient a et b deux nombres relatifs non nuls, est le nombre qui multiplié par b donne a c’est à dire b × a
b = a

si a et b sont positifs, est positif d’après l’égalité précédente ;
si a est négatif et b est positif, est négatif ;
si a et b sont négatifs, est positif ;
si b est négatif et a est positif, est négatif.

Exemples :

• = -1, 25
• --13,5
-2,4 = 5, 625

Remarque :

Si a et b sont deux nombres relatifs avec b0 :

--a a-- a- b = -b = - b

Exemples :

• A	=
A	=
A	= -
A	= -1, 5

• B	= -
B	=
B	=
B	=
B	= 1, 5