Droites remarquables dans les triangles

Soit ABC un triangle non aplati et soient (d₁), (d₂) et (d₃) les médiatrices respectives des côtés [AB], [BC] et [AC].
Puisque le triangle n’est pas aplati, les droites (d₁) et (d₂) se coupent en un point O. Il s’agit de montrer que le point O est aussi sur (d₃).
On sait que O est sur la médiatrice (d₁) de [AB]. D’après la propriété : ”si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est à égale distance des extrémités du segment” on en déduit que OA = OB.
De même, O est sur la médiatrice (d₂) de [BC] donc OB = OC.
OA = OB et OB = OC donc OA = OC. D’après la propriété : ”si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment”, on en déduit que O appartient à la médiatrice (d₃) du segment [AC], ce qu’il fallait démontrer.

1.2 Hauteurs

Soit ABC un triangle non aplati. Soit (d_A) la hauteur issue de A, (d_B) la hauteur issue de B et (d_C) la hauteur issue de C. Soient (d'_C) la droite parallèle à la droite (AB) et passant par le point C, (d'_A) la droite parallèle à la droite (BC) passant par le point A et (d'_B) la droite parallèle à (AC) passant par le point B.
(d'_A) et (d'_B) se coupent en un point C', (d'_B) et (d'_C) se coupent en au point A' et (d'_A) et (D'_C) se coupent en un point B'.
On va d’abord montrer que (d_B) est la médiatrice du segment [A'C'] :
On sait que (A'C) et (AB) sont parallèles et que (A'B) et (AC) sont parallèles. D’après la propriété : ”si un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux alors c’est un parallélogramme”, on en déduit que ABA'C est un parallélogramme. On sait donc que ABA'C est un parallélogramme d’où d’après la propriété : ”si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont égaux et parallèles” on en déduit que A'B = AC et que (AC) et (A'B) sont parallèles.
On montre de même en utilisant le parallélogramme ACBC' que BC' = AC.
A'B = AC et BC' = AC donc A'B = BC' d’où B est le milieu de [A'C'].
On sait que la hauteur (d_B) est perpendiculaire au côté (AC) et que (AC) et (A'B) sont parallèles donc d’après la propriété : ”si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre”, les droites (d_B) et (A'C') sont perpendiculaires.
Finalement, (d_B) coupe [A'C'] perpendiculairement en son milieu B donc c’est la médiatrice de [A'C'].
De même, on montre que (d_A) est la médiatrice de [B'C'] et que (d_C) est la médiatrice de [A'B'].Les médiatrices d’un triangle sont concourantes donc les droites (d_A), (d_B) et (d_C) sont concourantes.

1.3 Médianes

Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Si dans un triangle, un point est l’intersection de deux médianes, alors il est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir des sommets.
C’est à dire,
$2 ' 2 ' 2 ' AG = -AA ; BG = -BB ; CG = -CC 3 3 3$

Soit ABC un triangle non aplati. On appelle A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. Soit G le point d’intersection de (CC') et (BB'). Soit I le point tel que G est le milieu de [AI]. Soit A'' le point d’intersection de (AG) et de [BC]. Il s’agit donc de montrer que A'' est le milieu de [BC] c’est à dire que A' et A'' sont confondus. On sait que dans le triangle ABI, C' est le milieu de [AB] et que G est le milieu de [AI]. D’après la propriété ”si dans un triangle, une droite passe par le milieu de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième” on en déduit que (C'G) est parallèle à (BI) et d’après la propriété ”si dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés, alors sa longueur vaut la moitié de celle du troisième côté” on en déduit que BI = 2C'G.
De même on montre dans le triangle CAI que les droites (BB') et (CI) sont parallèles. On sait donc que (BG) est parallèle à (CI) et que (GC) est parallèle à (BI) donc d’après la propriété ”si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme” on en déduit que BGCI est un parallélogramme. BGCI étant un parallélogramme, d’après la propriété ”si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu” donc le milieu A' de [BC] est aussi le milieu de la diagonale [IG] et par conséquent A' et le point d’intersection A'' de (AG) avec (BC) sont confondus.
Pour montrer que CG = CC', on sait que BGCI est un parallélogramme donc d’après la propriété ”si un quadrilatère est un parallélogramme, alors se côtés opposés ont même longueur” on déduit que GC = BI. Puis, de GC = BI et de BI = 2C'G on déduit que GC = 2C'G donc CG = 2C'C + 2CG d’où CG = CC'.

1.4 Bissectrices

Soit ABC un triangle et (d_A), (d_B) et (d_C) les bissectrices des angles BAC , ABC et ACB respectivement.

Soit H le point d’intersection de (d_A) et de (d_B). D’après la propriété ”Si un point appartient à la bissectrice d’un angle alors il est à égale distance des côtés” on en déduit que H est à égale distance de (AB) et de (AC) d’une part et à égale distance de (AB) et (BC). On en conclut donc que H est à égale distance de (AC) et (BC). D’après la propriété ”si un point est à égale distance des côtés d’un angle alors il se trouve sur la bissectrice de cet angle, on en conclut que H se trouve sur la bissectrice de ACB c’est à dire sur (d_C). Les trois bissectrices sont donc concourantes en H.

En outre, si l’on appelle H_A le point d’intersection de la perpendiculaire à (BC) passant par H, H_B le point d’intersection de la perpendiculaire à (AC) passant par H et H_C le point d’intersection de la perpendiculaire à (AC) passant par H, les distances de H à (BC), à (AC) et à (AB) son respetivement données par HH_A, HH_B et HH_C et on a montré qu’elles sont égales donc le cercle de centre H et de rayon HH_A passe par les trois points H_A, H_B et H_B.

2 Applications

Si une droite passe par un sommet et le centre de gravité d’un triangle, alors c’est une médiane, elle coupe le côté opposé en son milieu.
Si une droite passe par un sommet et l’orthocentre d’un triangle, alors c’est une hauteur, elle est perpendiculaire au côté opposé.

Soit ABC un triangle et G son centre de gravité. On considère la droite passant par A et G. Les médianes du triangle sont concourantes en G. La médiane issue de A est la droite passant par A et par le milieu du côté opposé. Elle coupe les deux autres médianes en G donc elle passe par A et G. Par unicité de la droite passant par dexu points données, la droite passant par A et G est donc la médiane issue de A et elle coupe le côté opposé en son milieu.
De même que précédemment, cette droite est une hauteur et elle est donc perpendiculaire au côté opposé.

3 Cas des triangles particuliers

Si un triangle est isocèle, alors la hauteur, la médiane, la bissectrice issues du sommet principal ainsi que la médiatrice de la base sont confondues.
Si un triangle est équilatéral, alors les hauteurs, les médianes, les médiatrices et les bissectrices sont confondues.

Soit ABC un triangle isocèle de sommet principal A. Comme AB et AC sont égales, la médiatrice de la base passe par A. Soit I le milieu de [BC]. La droite (AI) est donc la médiatrice de la base. Elle passe par A et elle est perpendiculaire à (BC), donc c’est la hauteur issue de A. Elle passe par le milieu I de [BC] et par le sommet principal A donc c’est la médiane issue de A. Enfin, (AI) est la médiatrice de [BC] donc B a pour symétrique C par rapport à (AI) et A est son propre symétrique. Par conséquent, l’angle et l’angles sont symétriques par rapport à (AI). La symétrie axiale conserve les angles donc ces deux angles sont égaux et (AI) est aussi la bissectrice de .
Soit ABC un triangle équilatéral, il est donc isocèle en A et d’après la propriété précédente, la hauteur, la médiane, la bissectrice issues de A ainsi que la médiatrice de [BC] sont confondues. De même, le triangle ABC est isocèle en B donc la hauteur, la bissectrice, la médiane issues de B ainsi que la médiatrice de [AC] sont confondues. Enfin, le triangle est aussi isocèle en C donc la hauteur, la médiane, la bissectrice issues de C ainsi que la médiatrice de [AB] sont confondues.