Théorème :
On considère deux droites (d) et (d’) sécantes en un point A. Soit M et B deux points de la droite (d) et N et C deux points de la droite (AC). Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les triangles AMN et ABC ont leurs côtés proportionnels. C’est à dire : |
Preuve (cas particulier) :
Soit AMN un triangle avec B appartenant à [AM] et C appartenant à [AN] tels
que (MN) et (BC) sont parallèles. Cette démonstration utilise systématiquement
la formule de calcul de l’aire d’un triangle de base b et de hauteur associée h :
.
Les triangles MBC et NBC ont la base [BC] commune et des hauteurs associées à
[BC] de même longueur donc ils ont la même aire.
Par conséquent,
Exemple d’utilisation :
Sur la figure ci-contre, G (DE), H (DF) et (HG)//(EF). D’après le théorème de Thalès,
De
Théorème :
Soient (AB) et (AC) deux droites sécantes en A. Soit M un point de la droite (AB) et N un point de la droite (AC). Si les points A, B et M d’une part, A, C et N d’autre part, sont dans le même ordre et si |
Exemple :
Sur la figure ci-dessous, on suppose que AU = 2, UB = 1, AS = 3 et
SR = 1, 5.
On cherche à savoir si dans ces conditions, les droites (BR) et (SU) sont
parallèles.
U appartient à (AB), S appartient à (AR) et A, U, B d’une part, A, S, R
d’autre part sont dans le même ordre.
D’une part, =
D’autre part, = =
On constate que = donc d’après la réciproque du théorème de
Thalès, les droites (BR) et (US) sont parallèles.