Théorème de Thalès et réciproque cours 3e

F.Gaudon

31 décembre 2004

Table des matières

1 Théorème de Thalès
2 Réciproque du théorème de Thalès

1 Théorème de Thalès

Théorème :


On considère deux droites (d) et (d’) sécantes en un point A. Soit M et B deux points de la droite (d) et N et C deux points de la droite (AC). Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les triangles AMN et ABC ont leurs côtés proportionnels. C’est à dire :

AM---=  AN-- = M--N-
 AB     AC      BC

PICTPICTPICT

Preuve (cas particulier) :

PICT

Soit AMN un triangle avec B appartenant à [AM] et C appartenant à [AN] tels que (MN) et (BC) sont parallèles. Cette démonstration utilise systématiquement la formule de calcul de l’aire d’un triangle de base b et de hauteur associée h : b×h2.

Les triangles MBC et NBC ont la base [BC] commune et des hauteurs associées à [BC] de même longueur donc ils ont la même aire.
Par conséquent,

aire(BCM   )   aire(BCN  )
------------=  ------------
aire(BCA)      aire(BCA)
En outre, en considérant les triangles ABN et ABC, ils ont la même hauteur issue du sommet B (c’est la hauteur associée au côté [AC] dans le triangle ABC et la hauteur associée au côté [AN] dans le triangle ABN).
Par conséquent,
aire(BCN  )    AN
------------=  ----
aire(ABC)      AC
De même, en considérant les triangles ABM et ABC, on a
aire(BCM---)    AM---
 aire(ABC)   =  AB
Finalement, on a donc
AM---=  AN--
 AB     AC

Exemple d’utilisation :

PIC

Sur la figure ci-contre, G  (- (DE), H  (- (DF) et (HG)//(EF). D’après le théorème de Thalès,

DE     DF      EF
----=  ---- = ----
DG     DH     HG
Donc
--4- =  5-= EF--
DG      6    10
De
 4     5
----=  --
DG     6
on déduit
DG--=  6-
 4     5
donc
       6-
DG  =  5 × 4
c’est à dire DG = 24-
5.

De

5    EF
--=  ----
6    10
on déduit
EF   = 5-× 10
       6
c’est à dire EF = 50
 6 donc EF = 25
 3.

2 Réciproque du théorème de Thalès

Théorème :


Soient (AB) et (AC) deux droites sécantes en A. Soit M un point de la droite (AB) et N un point de la droite (AC). Si les points A, B et M d’une part, A, C et N d’autre part, sont dans le même ordre et si

AM      AN
-----=  ----
 AB     AC
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

PIC

Exemple :

Sur la figure ci-dessous, on suppose que AU = 2, UB = 1, AS = 3 et SR = 1, 5.
On cherche à savoir si dans ces conditions, les droites (BR) et (SU) sont parallèles.
U appartient à (AB), S appartient à (AR) et A, U, B d’une part, A, S, R d’autre part sont dans le même ordre.
D’une part, AU-
AB = 2
3
D’autre part, AS-
AR = -3-
4,5 = 2
3
On constate que AAUB- = AASR- donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BR) et (US) sont parallèles.

PIC