Définition :

Remarque :

L’écriture n’a pas de sens si le nombre a est strictement négatif.

Propriété :

Exemples de calcul de racines carrées :

• mentalement : = 0, = 1, = 2
• avec une calculatrice : 4,8 est la valeur exacte de , c’est donc la racine carrée de 23,04 mais 1,414213562 est une valeur approchée de , ce n’est pas la racine carrée de 2.

Propriété :

Preuve :

Si a > 0

x2	= a
x2 - a	= 0
x2 - ()2	= 0
(x -)(x + )	= 0

Un produit est nul lorsque l’un des deux facteurs est nul,
donc x - = 0 ou x + = 0
c’est à dire x = ou x = -
Donc l’équation admet deux solutions distinctes et -.
Si a = 0 le même raisonnement conduit a deux solution et - donc une seule solution 0.
Si a < 0, tout carré étant positif, pour tout nombre x, x² est positif donc différent de a d’où pas de solution.

Propriété :

Preuve :

( ×)2	= ()2 × ()2
	= a × b

donc × est un nombre positif qui élevé au carré donne a × b.
Or est par définition le nombre positif dont le carré vaut a × b.
Donc × = . De même,

()2	=
	=

donc est un nombre positif qui élevé au carré donne .
Or est par définition le nombre positif qui élevé au carré donne .
D’où l’égalité.

Exemples :

A	=
A	=
A	=
A	=
A	=

B	=
B	=
B	=
B	=
B	=
B	=

C	= 5 - 8
C	= (5 - 8)
C	= -3

Remarque :

En général, + .
Par exemple, = 5 mais + = 7.