Fonctions cours 3e

a désigne un nombre fixé. Le procédé f qui à tout nombre x associe le nombre ax est appelé fonction linéaire. On note

f : x '- --> ax

Le nombre ax est aussi noté f(x) et appelé image du nombre x par la fonction linéaire f.

Exemple :

la fonction linéaire f de coefficient 4 associe au nombre 3 le nombre 3 × 4 c’est à dire 12. On écrit f(3) = 12. Elle associe au nombre -3, 1 le nombre -12, 4, c’est à dire f(-3, 1) = -12, 4.

2 Fonctions affines

Soient a et b deux nombres. On définit une fonction affine f lorsqu’à chaque nombre x on associe le nombre ax + b.

On note f : x '--> ax + b

Le nombre ax + b est appelé l’image du nombre x par la fonction f

Exemple :

f : x '- --> - 2x + 5

f(0) = -2 × 0 + 5

f(0) = 5

5 est l’image de 0 par la fonction affine f.

f() = -2 × + 5

f( 3
2 ) = -3 + 5

f( 3
2 ) = 2

2 est l’image de 3
2 par la fonction affine f.

Remarque :

f est de la forme f : x '--> ax lorsque b = 0.

Toute fonction linéaire est donc une fonction affine.

3 Représentation graphique de fonctions

3.1 Représentation graphique d’une fonction affine

La représentation graphique d’une fonction f dans un repère donné est l’ensemble des points de coordonnées (x; f(x)).

La représentation graphique de la fonction affine f : x '--> ax + b est une droite.

Les points de cette droite sont les points dont les coordonnées (x; y) vérifient l’équation y = ax + b.

On dit que cette droite a pour équation y = ax + b.

On considère la fonction affine f : x '--> ax + b.

Le nombre a est appelé coefficient directeur de la fonction affine f ;
Le nombre b est appelé ordonnée à l’origine de la fonction affine f.

Exemple :

f : x '--> 0, 5x + 3
Soit (D₁) sa représentation graphique.
f(0) = 3 donc A(0; 3) appartient à (D₁).
f(-2) = 2 donc B(-2; 2) appartient à (D₁).
On obtient le tableau de valeurs suivant :


x	0	1

f(x)	4	7

3.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire

Propriété et définition :

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire de coefficient a est la droite qui passe par l’origine O du repère et par le point de coordonnées (1; a). On dit que cette droite a pour équation y = ax et que a est son coefficient directeur.

preuve :

la représentation graphique est formée des points de coordonnées (x; ax). On admettra qu’ils sont alignés. Les points de coordonnées (0; a × 0) et (1; a × 1) c’est à dire (0; 0) et (1; a) sont donc sur cette droite.

4 Lien avec la proportionnalité

4.1 Fonctions linéaires et proportionnalité

Exemple :

On considère un carré de côté x cm.

On s’intéresse d’abord à son périmètre p(x).

x 3 3,5 5
p(x) 12 14 20

Ce tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient 4. Le procédé p qui, à un nombre x associe le nombre 4x est une fonction linéaire de coefficient 4. On a p(3) = 4, p(3, 5) = 14, etc.
On s’intéresse ensuite à son aire A(x).

x 3 3,5 4
A(x) 9 12,25 16

Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. A n’est pas une fonction linéaire.

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’une est une fonction linéaire de l’autre. Le coefficient de la fonction linéaire est alors aussi un coefficient de proportionnalité.

Preuve :

Deux grandeurs x et y sont proportionnelles si les valeurs de y s’obtiennent en multipliant les valeurs de x correspondantes par un même nombre a c’est à dire si y est une fonction linéaire de coefficient a des valeurs de x.

4.2 Lien avec le calcul avec pourcentages

Prendre 15% d’un nombre x revient à le multiplier par ,on a alors la fonction linéaire : $f : x '---> 0,15x$
Augmenter de 15% un nombre x revient à le multiplier par 1, 15, on a alors la fonction linéaire : $15-- g : x '- --> (1 + 100)x$
Diminuer un nombre x de 15% revient à le multiplier par 0, 85, on alors la fonction linéaire : $15 h : x '- --> (1- ---)x 100$

preuve :

connu ;
le nombre x augmente de 15% donc l’augmentation est de et par suite le nombre x devient après augmentation x + x = (1 + )x = 1, 15x ;
le nombre x diminue de 15% donc la diminution est de et par suite le nombre x devient x -x = (1 -)x = 0, 85x.

4.3 Fonctions affines et proportionnalité

Pour une fonction affine f définie par f(x) = ax+b, il y a proportionnalité entre les accroissements de x et les accroissements de f(x). Plus précisément, lorsque x augmente de k, f(x) augmente de ka.

Preuve :

Soit f la fonction définie par f(x) = ax + b.
Pour tous les nombres x et y, l’accroissement des valeurs de f vaut f(x) -f(y), il sagit de justifier qu’il est proportionnel à l’accroissement x - y de x à y, c’est à dire que les quotients f(x)- f(y)
x-y sont tous égaux indépendamment de x et y. Or,

	=
	=
	=
	=
	= a

5 Détermination des fonctions linéaires et affines

5.1 Fonctions linéaires

Exemple :

Soit f la fonction linéaire telle que f(3) = 12, 6.
f est linéaire donc de la forme f : x '--> ax avec a à déterminer.
Or f(3) = 12, 6 et f(3) = a × 3 donc a × 3 = 12, 6.
D’où a = 12,6
3 c’est à dire a = 4, 2.
Donc f : x '--> 4, 2x.

5.2 Fonctions affines

Le coefficient directeur a d’une fonction affine f telle que f(x_A) = y_A et f(x_B) = y_B est donné par :

yA - yB a = --------- xA - xB

Preuve :

Voir paragraphe précédent.

Exemple :

Déterminer la fonction affine f telle que f(3) = 9 et f(-2) = -1. f est une fonction affine donc de la forme f : x '--> ax + b avec a et b deux nombres à déterminer.
On a vu que les accroissements sont proportionnels avec pour coefficient de proportionnalité a.
Donc a = f(33)--(f-(-2)2) = 93-+((-+ 12)) = 105 = 2.
En outre f(3) = 9 et f(3) = 3a + b c’est à dire f(3) = 3 × 2 + b donc 3 × 2 + b = 9 c’est à dire 6 + b = 9 ou encore b = 3.
f est la fonction définie par f(x) = 2x + 3.