quations et inquations cours 3e

Une équation est une égalité dans laquelle apparaît une lettre appelée variable ou inconnue souvent notée x.
Résoudre une équation, c’est trouver tous les nombres x pour lesquels l’égalité est vraie. Ces nombres sont appelés les solutions de l’équation.

Exemple :

L’équation suivante est du premier degré car le nombre x est élevé à la puissance 1. La seule inconnue est le nombre x. $3(x - 2) = 5x + 1 -- -- -- -- 1er membre 2nd membre$
L’équation $2 x - 1 = 8$ est du second degré car le nombre x est élevé à la puissance 2.

1.2 Méthodes de résolution

Règle de conservation des égalités :

L’égalité est conservée (c’est à dire reste vraie ou fausse) lorsque l’on ajoute (ou on soustrait) le même nombre dans les deux membres de l’égalité.
L’égalité est conservée lorsqu’on multiplie (ou on divise) les deux membres de l’égalité par un le même nombre non nul.

Exemple :

3(x - 2)	= 5x + 1
3x - 6	= 5x + 1 on développe pour supprimer les parenthèses
3x - 5x - 6	= 5x - 5x + 1 (on ajoute - 5x aux deux membres)
- 2x - 6	= 0x + 1 (on réduit)
- 2x - 6	= 1 (on simplifie)
- 2x - 6 + 6	= 1 + 6 (on ajoute 6 aux deux membres)
- 2x	= 7 (on simplifie)
	= (on divise par 6 les deux membres de l’égalité)
x	=
x	= -3, 5

vérification :
D’une part, 3 × (-3, 5 - 2) = 3 ×-5, 5 = -16, 5 D’autre part, 5 ×-3, 5 + 1 = -17, 5 + 1 = -16, 5 La solution de l’équation est donc --7
2

2 Équations produit nul

2.1 Vocabulaire

Une équation produit nul est une équation de la forme A×B = 0 où A et B sont deux expressions littérales du premier degré de la même variable.

Exemple :

x × (x - 3) = 0
(2x - 1)(-x + 3) = 0

Remarque :

Une équation produit nul n’est pas une équation du premier degré : par exemple (2x - 1)(-x + 3) = -2x² + 6x + x - 3 = 2x² + 7x - 3

2.2 Méthode de résolution

Un produit est nul lorsque l’un des deux facteurs est nul.

Exemple d’application à la résolution :

(2x - 1)(-x + 3) = 0 est une équation produit nul.
Le produit est nul lorsque l’un des facteurs est nul.
Donc
2x - 1 = 0 ou -x + 3 = 0 c’est à dire 2x = 1 ou -x = -3
donc x = 1
2 ou x = 3
vérification : (2 × 0, 5 - 1)(-0, 5 + 3) = 0 et (2 × 3 - 1)(-3 + 3) = 0 Les solutions de l’équation sont 0,5 et 3.

3 Inéquations du premier degré à une inconnue

3.1 Vocabulaire

Une inéquation est une inégalité dans laquelle apparaît un nombre variable inconnu souvent noté x.
Résoudre une inéquations, c’est trouver tous les nombres x pour lesquels l’inégalité est vraie.

Exemple :

3x - 5 < 7 + 8x

est une inéquation.

3.2 Méthode de résolution

L’ordre est conservé lorsque l’on ajoute (ou l’on soustrait) le même nombre aux deux membres de l’inégalité.
L’ordre est conservé lorsque l’on multiplie (ou l’on divise) les deux membres de l’inégalité par le même nombre strictement positif.
L’ordre est inversé lorsque l’on multiplie (ou l’on divise) les deux membres de l’inégalité par le même nombre strictement négatif.

Preuve :

soient a et b deux nombres tels que b > a. cela revient à dire que la différence de b avec a est positive : b - a > 0 Soit c un autre nombre.

Cas de l’addition : b - a > 0 donc b - a + c - c > 0 c’est à dire b + c - c - a > 0 ou encore (b + c) - (a + c) > 0 donc b + c est supérieur à a + c.
Cas de la soustraction : de même que l’addition.
Cas de la multiplication : si c > 0 alors c × (b - a) > 0 (produit de deux nombres positifs). Donc cb - ca > 0 en distribuant. Cela signifie que le nombre cb est supérieur au nombre ca c’est à dire cb > ca.
Si c < 0 alors c × (b - a) < 0 (produit d’un nombre positif avec un négatif). Donc cb - ca < 0 et donc cb < ca.

Exemple :

3x - 7	< 5 + 8x
3x - 7 - 8X	< 5 + 8x - 8x on enlève 8x aux deux membres
- 5x - 7	< 5 on simplifie
- 5x - 7 + 7	< 5 + 7 on ajoute 7 aux deux membres
- 5x	< 12 on simplifie
	> on divise par -5, l’ordre est inversé
x	>
x	> -2, 4