Développements et identités remarquables cours 3e

F.Gaudon

31 décembre 2004

Résumé

Des expressions littérales peuvent s’écrire de manières différentes tout en restant égales pour tous les nombres (par exemple 5x et 3x+2x), c’est ce que l’on appelle des identités. Une écriture peut se révéler plus pratique qu’une autre pour résoudre un problème donné. Le but de ce chapitre est d’étudier le passage entre différentes écritures d’une même expression littérale. On s’intéressera plus particulièrement au passage entre des écritures sous forme de produit et des écritures sous forme de sommes.

Table des matières

1 Produits et sommes
2 Identités remarquables
 2.1 Carré d’une somme
 2.2 Carré d’une différence
 2.3 Produit d’une somme de deux termes par leur différence
 2.4 Exemples

1 Produits et sommes

Propriétés :

k(a +-b)= ka-+ kb produit somme
(a-+-b)(c-+-d)= ac+-ad-+-bc+-bd produit somme

Preuve :

Définition :

  • Développer consiste à partir d’une expression sous forme d’une somme pour obtenir une expression sous forme de produit.
  • Factoriser consiste à partir d’une expression sous forme d’une somme à partir d’une expression sous forme de produit.

Exemple :

(5 + x)(3 - x) = 15 + 3x - 5x - x2
= -x2 - 2x + 15

2 Identités remarquables

2.1 Carré d’une somme

Propriété :

(a+ b)2 = a2 + 2ab + b2

Preuve :

Pour tous les nombres a et b,

(a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a × a + a × b + b × a + b × b
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2

2.2 Carré d’une différence

Propriété :

(a- b)2 = a2- 2ab + b2

Preuve :

Pour tous les nombres a et b,

(a - b)2 = (a - b)(a - b)
= a × a + (-b) × a + a × (-b) + (-b) × (-b)
= a2 - ab - ab + b2
= a2 - 2ab + b2

2.3 Produit d’une somme de deux termes par leur différence

Propriété :

(a+ b)(a - b) = a2 - b2

Preuve :

Pour tous les nombres a et b,

(a + b)(a - b) = a × a + a × (-b) + b × a + b × (-b)
= a2 - ab + ab - b2
= a2 - b2

2.4 Exemples

Exemples :

A = (3 + x)2
A = 32 + 2 × 3 × x
A = x2 + 6x + 9
B = (3 -- 2 - y)2
B = (3- 2)2 - 2 ×3- 2 × y + y2
B = 32 22 - 3y + y2
B = 9- 4 - 3y + y2
C = (5 + 2x)(5 - 2x)
C = 52 - (2x)2
C = 25 - 22x2
C = 25 - 4x2