Statistiques - cours

Population : ensemble étudié ;
individu : élément de la population ;
caractère : propriété étudiée.
Un caractère peut être :
- qualitatif : les valeurs du caractère ne sont pas numériques (ex. : ville d’origine) ;
- quantitatif : les valeurs du caractère sont numériques (ex. taille).
  Un caractère quantitatif peut être :
  - discret : valeurs peu nombreuses (ex. : nombre d’enfants) ;
  - continue : valeurs infinies ou très nombreuses (ex. : taille).
Les valeurs d’un caractère sont notées n_i.
classe : partie de la population de valeurs de caractères proches ;
effectif : nombre d’individus d’une classe (noté n_i) ou d’une population (effectif total noté N).
fréquence : f_i = ou en pourcentage f_i = × 100.

2 Représentations graphiques

2.1 Caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets

Exemple :

Ventes de voitures neuves en août 1996 :


Renault	PSA	étrangères

26,4%	25,9 %	47,7%

2.2 Caractères qualitatifs continus

Dans un histogramme l’effectif d’une classe est proportionnel à l’aire des rectangles et pas à hauteur.

Exemple :


prix	[0 ; 500[	[500 ; 1000[	[1000 ; 1500[	[1500 ; 2000[	[2000 ; 2500[

nombre d’articles	4	8	6	5	2

3 Caractéristiques d’une série statistique

3.1 Caractéristiques de position

Le mode (ou classe modale) est la classe ou la valeur du caractère de plus grand effectif.

Remarque :

Le mode ou la classe modale ne sont pas nécessairement unique pour une série statistique donnée.

La médiane est la valeur du caractère qui sépare la série statistique en deux groupes de même effectif.

Méthode de détermination :

Dans le cas d’un caractère discret à k = 2p + 1 valeurs, la médiane est la pème valeur ;
dans le cas d’un caractère discret à k = 2p valeurs, la médiane est la moyenne entre la pème et la p + 1ème valeur c’est à dire Me = ;

La moyenne est donnée par :

n1x1-+-n2x2-+-...+--nkxk- N

ou encore

sum ---nixi N

On dit que la moyenne d’une série statistique est élaguée d’une ou de plusieurs valeurs lorsque la moyenne est calculée sans tenir compte de ces valeurs.

Remarque :

Dans le cas d’un caractère continue (donc de valeurs regroupées en classes), on prend pour x_i le centre ai+2bi- des classes [a_i; b_i[.

Soit la moyenne d’une série d’effectif total N, de valeurs x_i et d’effectifs correspondants n_i pour i allant de 1 à k.

Si et sont les moyennes de deux sous groupes de la série d’effectifs respectifs N₁ et N₂, alors : $N1x1--+-N2x2- x = N$
La moyenne de la série de valeurs ax_i + b où a et b sont des nombres réels est égale à a + b.

3.2 étendue

L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite.

4 Echantillonnage et simulations

4.1 Distribution de fréquences

On appelle échantillon toute partie de la population.
L’effectif d’un échantillon est appelé sa taille.
Réaliser un sondage dans une population, c’est réaliser une enquête statistique sur un échantillon de cette population.

On appelle distribution de fréquences liées à un échantillon, la donnée des différentes valeurs du caractère et des fréquences associées.
On appelle fluctuation d’échantillonnage la variation des distributions de fréquences en fonction de l’échantillon choisi.

4.2 Expérience aléatoire et simulation

On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat, soumis au hasard, est impossible à prévoir.
Réaliser une simulation d’une expérience aléatoire, c’est la remplacer par une autre expérience aléatoire plus facile à réaliser mais dont on peut estimer que les distributions de fréquences qu’elle donnerait seraient proches pour un grand nombre de répétitions.