Études de signes, équations et inéquations, cours de seconde

F.Gaudon

16 août 2005

Méthode :

Soient a et b deux nombres réels avec a0.

Étudier le signe du nombre ax + b signifie déterminer les valeurs de x pour lesquelles ax + b > 0 et celles pour lesquelles ax + b < 0.

Synthèse :

On résume l’étude dans un tableau de signe :

Si a > 0

Si a < 0

Propriété :

ax + b est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à - b
a , du signe opposé pour les valeurs inférieures.

Exemple d’étude de signe d’un produit :

On considère le produit

(x - 3)(1- x)

On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de x - 3 et de 1 - x, puis on utilise la règle des signes.

Exemple d’étude de signe d’un quotient :

On considère le quotient

3- 2x x-+-1--

On détermine les valeurs interdites : ici, on doit avoir x + 10 c’est à dire x - 1.
On procède de même que pour l’étude de signe d’un produit.

Définition :

On appelle inéquation produit, toute inéquation de la forme f(x)g(x) < 0 ou f(x)g(x) > 0 où f et g sont deux fonctions.
On appelle inéquation quotient, toute inéquation de la forme < 0 ou f(x)g(x) > 0 où f et g sont deux fonctions.

Définition :

Soient I et J deux intervalles.

L’intersection de I et J notée I $/~\$ J est l’ensemble des nombres appartenant à la fois à I et à J.
La réunion de I et J notée I J est l’ensemble des nombres appartenant à I ou (inclusif) à J.
Lorsque les intervalles I et J n’ont aucun point commun, leur intersection est l’ensemble vide noté Ø. On dit aussi que les intervalles sont disjoints.

On considère l’inéquation

3x-+-1-< 5 x - 2

On détermine les valeurs interdites : x - 2 = 0 donne x = 2.
On écrit l’inéquation sous la forme d’une inéquation quotient : $3x-+--1- 5 < 0 x - 2$ $3x + 1 - 5(x - 2) ------------------< 0 x - 2$ $3x-+-1---5x-+-10- < 0 x - 2$ $- 2x + 11 ----------< 0 x - 2$
On étudie le signe du quotient obtenu :

x - -5,5 2 +
-2x + 11 + 0 - -
x - 2 - - 0 +
- 0 + || -
On détermine à partir du tableau les valeurs de x solutions de l’inéquation : $S = [- oo ; - 5,5] U ]2;+o o [$

On considère l’équation

2 x----2- 3x - 1 = 0

On détermine les valeurs interdites : 3x - 1 = 0 donne x = .
On écrit le numérateur sous forme d’un produit en factorisant : $2 V~ - V~ -- x----2-= (x----2)(x-+---2)- 3x - 1 3x - 1$
On résout l’équation produit obtenue : $V~ -- V~ -- (x- 2)(x + 2) = 0$ $V~ -- V~ -- x = 2 ou x = - 2$
On détermine les solutions en supprimant les valeurs interdites qui ne peuvent être solutions : $V~ -- V~ -- S = {- 2; 2}$