Équations de droites et systèmes d’équations, cours de seconde

F.Gaudon

9 avril 2008

Table des matières

1 - Equations de droites
2 - Systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues
 2.1 - Généralités et interprétation graphique
 2.2 - Résolution par substitution
 2.3 - Résolution par combinaison

1 - Equations de droites

Définition :


Soit D une droite dans le plan muni d’un repère (O; i ; j).

On appelle équation de la droite (D) toute équation vérifiée par et uniquement par les coordonnées (x; y) des points de la droite (D).


Exemple :

La droite (D) ci-dessous a pour équation y = 3x + 2 mais aussi y - 3x - 2 = 0.

Un point M(x; y) appartient à la droite (D) si et seulement si x et y vérifient y = 3x + 2.

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Théorème et définition :


Soit (O; i ;  j) un repère.

  • Toute droite (D) non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme :
    y = mx  + p
    appelée équation réduite avec :
    • m : nombre réel appelé coefficient directeur.
    • p : nombre réel appelé ordonnée à l’origine.

    On a en outre m = yB--yA-
xB- xAA(xA; yA) et B(xB; yB) sont deux points distincts de la droite.

  • toute droite (D) parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme :
    x = c
    avec c nombre réel tel que tous les points de la droite (D) ont pour abscisse c.

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Preuve :

Soit (D) la droite passant par les points A(xA; yA) et B(xB; yB) distincts.

Soit M(x; y) un point quelconque.

Les vecteurs AM et AB ont pour coordonnées respectives (x - xA; y - yA) et (xB - xA; yB - yA).

M appartient à (D) signifie que les vecteurs AM et AB sont colinéaires ce qui se traduit par :

(x-  xA)(yB - yA) = (y - yA)(xB  - xA)

Exemple :

Soit D la droite passant par les points A et B de coordonnées (1; 3) et (-2; 5).

xA/=xB donc D n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Son équation est donc de la forme y = mx + p.

m = -yB--yA
xA -xB = --3--5-
1-(-2) = -2-
 3

donc son équation est y = -32-x + b.

Or A  (- D donc ses coordonnées vérifient l’équation d’où 3 = -32- × 1 + b. et b = 3 + 2
3 c’est à dire b = 11
3.

L’équation est donc y = -2-
3x + 11
 3.

Remarque :

Toute équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a; b)/=(0; 0) est l’équation d’une droite.

Définition :

On appelle vecteur directeur d’une droite D tout vecteur non nul de direction parallèle à cette droite.


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Propriété :


Dans le plan muni d’un repère (O; i ; j), le vecteur v de coordonnées (1; m) est un vecteur directeur de la droite (D) d’équation y = mx + p


Preuve :

On considère les points A(0; p) et B(1; m + p).

Ces deux points appartiennent à la droite D puisque leur coordonnées vérifient l’équation y = mx + p.

Le vecteur AB est un vecteur directeur et a pour coordonnées (xB - xA; yB - yA) soit (1 - 0; m + p - p) donc (1; m).

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Exemple :

Soit D la droite passant par A(1; 3) et de vecteur directeur u(2; 4).

M  (- D si et seulement si AM est colinéaire à u

c’est à dire AM de coordonnées (x - 1; y - 3) est colinéaire à u de coordonnées (2; 4)

c’est à dire si et seulement si 2(x - 1) - 4(y - 3) = 0 (condition de colinéarité de deux vecteurs)

c’est à dire si et seulement si 2x - 2 - 4y + 12 = 0 ou encore 4y = 2x + 10 et y = 12x + 52.

D’où l’équation de la droite.

Propriété :


Deux droites (D) et (D') d’équations réduites respectives y = mx + p et y = m'x + p' sont parallèles si et seulement si m = m'.


Preuve :

Soient u de coordonnées (1; m) et v de coordonnées (1; m') des vecteurs directeurs de (D) et (D') respectivement.

Les deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs ont même direction c’est à dire sont colinéaires c’est à dire si et seulement si 1 × m = 1 × m'.

2 - Systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues

2.1 - Généralités et interprétation graphique

Définition :


Résoudre le système d’équations :

{ #ax#+##by=c#
  #'#####'###'
  a#x#+#b#y=c#
  #########
a, b, c, a', b' et c' sont des nombres réels consiste à trouver tous les couples (x; y) de nombres réels qui vérifient simultanément les deux équations formant le système.

Théorème :


On considère le système (S) suivant :

  ############
{ #ax#+##by=c#
  a'x#+#b'y=c'
  #########
  #########
a, b, c, a', b' et c' sont des nombres réels avec (a; b)/=(0; 0) et (a'; b')/=(0; 0).

Les solutions du systèmes sont les couples de coordonnées des points communs aux deux droites (D) et (D') d’équations ax + by = c et a'x + b'y = c' respectivement dans un repère (O; i ; j).

  • Si (D) et (D') sont sécantes en un point I, le système admet pour unique couple solution le couple de coordonnées (xI; yI) du point I.
  • Si (D) et (D') sont parallèles et distinctes, le système n’admet pas de solution.
  • Si (D) et (D') sont parallèles et confondues, le système admet une infinité de couples solutions : tous les couples de coordonnées des points de la droite.

Propriété :


Le système (S) suivant :

  ############
{ #ax#+##by=c#
  a'x#+#b'y=c'
  ############
  #########
admet un unique couple solution si et seulement si ab'- a'b/=0.

Si a'b-ab' = 0, alors le système admet ou bien une infinité de solutions, ou bien aucune solution.


Preuve :

Dans le cas où b et b' sont non nuls, le système est équivalent à y = -ba-x + c et y =   '
-ba'- + c'.

Le système admet une unique solution si et seulement si les droites correspondantes sont sécantes c’est à dire si et seulement si les coefficients directeurs sont égaux sont égaux c’est à dire encore -a'
b' = -a-
b qui s’écrit encore a'b - ab' = 0.

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2.2 - Résolution par substitution

Exemple :

{   2x -  y  =  1 (1)
   - x + 2y  =  4 (2)
{         y  =  2x - 1 on exprime  y en fonction  de x avec (1)

   -x + 2y   =  4
{                y  =  2x -  1
   - x + 2(2x - 1)  =  4 on reporte l’expression de y dans la deuxi`eme  ´equation
On calcule x à l’aide de l’équation restante :
{             y  =   2x-  1
   - x + 4x - 2  =   4
{       y  =   2x - 1
   3x - 2  =   4
{   y  =   2x - 1
   3x  =   6
{  y   =  2x - 1
   x   =  2
On reporte la valeur de x trouvée pour trouver y :
{  y  =   2×  2-  1

   x  =   2
{  y  =   3
   x  =   2
On vérifie ensuite que le couple trouvé convient bien :
{    2 × 2 - 3  =  1
   - 2 + 2 × 3  =  4
Le système admet une seule solution, le couple (2; 3).

2.3 Résolution par combinaison

Exemple :

{  2x +  3y  =  5(a)
   5x +  3y  =  16 (b)
On multiplie les deux membres de (a) par -5 et les deux membres de (b) par 2 :
{  (- 5)× 2x +  (- 5) × 3y  =   (-5) × 5 (a)×  5
          2 × 5x + 2 × 3y  =   16 × 2 (b)× 2
{  - 10x - 15y   =  - 25
      10x +  6y  =  32
On additionne membre à membre la première et la deuxième équation :
10x -  10x + 6y - 15y =  -25 + 32
donc
- 9y = 7
c’est à dire
      7-
y = - 9
On reporte ensuite dans l’une des équations d’origine :
           7
2x + 3 × - --= 5
           9
donc
     21
2x - --- = 5
      9
c’est à dire
      66
2x =  ---
      9
donc
x = 33-
     9
ou
x = 11-
     3
On vérifie ensuite :
       11         7
{  2 × 131 + 3 × - 97  =  5
   5 ×  3 + 3 × - 9  =  16
Le système admet une unique solution (11
-3; -7
9).