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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{15cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\title{Fonction inverse, cours, 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
%\pagestyle{fancy}
%\fancyhead[L]{}
%\fancyhead[R]{\textit{\small Fonction inverse}}
%\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
%\fancyfoot[C]{\thepage}
%\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
 {\large \textbf{Fonction inverse}}
\end{center}




\begin{encadrer}{Définition}
On appelle fonction \emphref{inverse} la fonction  définie  pour tout nombre réel appartenant à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f:x\mapsto=\dfrac{1}{x}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Tableau de valeurs}
\pdfrowcolors{}
 \begin{center}
  \begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|}
\hline
 $x$  & -4 & -3 & -2 & -1 & $-\frac{1}{2}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & 1 & 2 & 4 \\
\hline
 $\frac{1}{x}$  & $-\frac{1}{4}$ & $-\frac{1}{3}$ & $\frac{-1}{2}$& $-1$ & -2 & $||$ & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{4}$ \\
\hline 
  \end{tabular}

 \end{center}

\end{sanscadre}

\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Représentation graphique}
La représentation graphique de la fonction inverse est appelée \emphref{hyperbole}.
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{fonctionInverseFigure.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Pour tout réel $x$ non nul, $f(-x)=-f(x)$. La fonction est dite \emphref{impaire}. Sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$ est symétrique par rapport à l'origine O du repère.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Pour tous les réels $x$ non nuls, $f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$ et les points $M(x,\frac{1}{x})$ et $M'(-x;\frac{-1}{x})$ appartiennent à la courbe et sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
\end{sanscadre}



%
%\begin{sanscadre}{Variations}
%La fonction inverse est :
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] strictement \emphref{décroissante} sur $]-\infty ;0[$ ;
%\item[$\bullet$] strictement \emphref{décroissante} sur $]0;+\infty[$.
%\end{itemize}
%\begin{center}
%\pdfrowcolors{}
%\begin{tabular}{|c|ccccc|}
%\hline
%$f(x)$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
%\hline
%
% &  &  & $||$ &  &  \\
%$x$ &  &	$\searrow$ & $||$ & $\searrow$ &  \\
% & &  & $||$ & &  \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{sanscadre}
%
%
%\begin{encadrer}{Propriété}
%\begin{itemize}
%\nouvitem Pour tous les réels strictement positifs $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1\leq x_2$, alors $\frac{1}{x_1}\geq \frac{1}{x_2}$ c'est à dire que la fonction inverse \emphref{change l'ordre} des inégalités pour les nombres positifs.
%\nouvitem Pour tous les réels strictement négatifs $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1\leq x_2$, alors $\frac{1}{x_1}\leq \frac{1}{x_2}$ c'est à dire que la fonction inverse \emphref{change l'ordre} des inégalités pour des les nombres négatifs.
%\end{itemize}
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%On remarque d'abord $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{x_1}{x_1x_2}-\frac{x_2}{x_1x_2}=\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}$
%\begin{itemize}
%\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels tels que $0<x_1\leq  x_2$ donc tels que $x_1-x_2\leq 0$. Comme $x_1x_2>0$ et $x_1-x_2\leq 0$ on a donc $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}\leq 0$ donc $\frac{1}{x_2}\leq \frac{1}{x_1}$. 
%\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels tels que $x_1\leq  x_2<0$ donc tels que $x_1-x_2\leq 0$. Comme $x_1x_2>0$ et $x_1-x_2\leq 0$, on a donc $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}\leq 0$ donc $\frac{1}{x_2}\leq \frac{1}{x_2}$.
%\end{itemize}
%\end{sanscadre}

%\begin{sanscadre}{Signe}
% La fonction inverse est \emphref{négative} sur $]-\infty;0[$ et \emphref{positive} sur $]0;+\infty[$.
%\begin{center}
% \pdfrowcolors{}
%\begin{tabular}{|l|lcccr|}
% \hline
%$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
%\hline
%$\frac{1}{x}$ &  & - & $||$ & + & \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tout réel non nul $a$, $\dfrac{1}{x}=a$ équivaut à $x=\dfrac{1}{a}$,\par
c'est à dire que l'équation $\dfrac{1}{x}=a$ admet pour unique solution $\dfrac{1}{a}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Immédiat en remarquant que $\frac{1}{x}=a$ s'écrit $\frac{1}{x}=\frac{1}{a}$.
\end{sanscadre}

\end{document}
