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\title{Fonction carré, cours, 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\small Fonction carré}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
\Large{\textbf{Fonction carré, cours, 2nde}}
\end{center}


\begin{encadrer}{Définition}
La fonction \emphref{carré} est la fonction définie sur $]-\infty;+\infty[$ par $f:x\mapsto x^2$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Tableau de valeurs}
\par
\begin{tabular}{|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|}
\hline
$x$ & -2 & -1 & $-\frac{1}{2}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & 1 & 2 \\
\hline
$f(x)$ & 4 & 1 & $\frac{1}{4}$ & 0  & $\frac{1}{4}$ & 1 & 4 \\
\hline
\end{tabular}
\end{sanscadre}




\begin{sanscadre}{Représentation graphique}
La représentation graphique de la fonction carré dans un repère du plan est appelée \emphref{parabole}.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionCarrefigure.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Pour tout réel $x$, on a $f(-x)=f(x)$, on dit que la fonction est \emphref{paire}.\\
Sa représentation graphique est \emphref{symétrique par rapport à l'axe des ordonnées} dans un repère orthogonal.
\end{encadrer}
\begin{sanscadre}{Preuve}
Pour tout réel $x$, $f(-x)=(-x)^2=x^2$ et  $M(x;x^2)$ et $M(-x;(-x)^2)$ appartiennent à la courbe et sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{sanscadre}
 

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout réel $k>0$, l'équation $x^2=k$ admet deux solutions :\par 
$\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$.
\nouvitem L'équation $x^2=0$ admet pour unique solution $0$ .\par 
Sur la parabole, c'est l'abscisse du \emphref{sommet} de la parabole.
\nouvitem Pour tout réel $k<0$, l'équation $x^2=k$ n'admet aucune solution réelle.\par 
La parabole n'a donc aucun point situé en dessous de l'axes des abscisses.

\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Seul le cas où $k>0$ n'est pas immédiat. On suppose donc $k>0$.\\
L'équation s'écrit alors $x^2-k=0$ c'est à dire $x^2-\sqrt{k}^2=0$\\
ce qui équivaut à $(x-\sqrt{k})(x+\sqrt{k})=0$ d'après l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.\\
Le produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul,\\
c'est à dire $x-\sqrt{k}=0$ ou $x+\sqrt{k}=0$ ce qui justifie le résultat.
\end{sanscadre}






\end{document}
