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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\title{Fonctions affines et systèmes, cours,  classe de seconde}



\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonctions affines, cours - 2nde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
\Large{\textbf{Fonction affines, cours, 2nde}}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $m$ et $p$ deux nombres réels. On appelle fonction \emph{affine} la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x)=mx+p$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $p=0$, $f$ est définie par $f(x)=mx$ et est dite \emphref{linéaire}.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Représentation graphique}
La représentation graphique de toute fonction affine est une droite.\\
Un point $M(x;y)$ appartient à la droite si et seulement si $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $y=mx+p$. $y=mx+p$ est appelée \emphref{équation de la droite} représentant $f$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Représentation graphique de $f:x\mapsto -2x+3$.\\
On obtient les coordonnées de deux points de la droite :\\
Pour $x=0$, $y=-2\times 0+3=3$ donc $A(0;3)$ appartient à la représentation graphique de la fonction $f$.\\
Pour $x=3$, $y=-2\times 3+3=-3$ donc $B(3;-3)$ appartient à la représentation graphique de la fonction $f$.\\
\end{sanscadre}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{fonctionsreferencecoursimgaffinedecroissante.png}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{fonctionsreferencecoursimgaffinecroissante.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
On considère l'équation de droite $y=mx+p$ où $m$ et $p$ sont deux réels.
\begin{itemize}
\nouvitem $m$ est appelé \emphref{coefficient directeur} ou \emphref{pente} de la droite ;
\nouvitem $p$ est appelé \emphref{ordonnée à l'origine} de la droite.
\end{itemize}
\end{encadrer}
%
%\subsection{Variations}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] Si $m>0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
%\item[$\bullet$] si $m=0$ alors la fonction $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ ;
%\item[$\bullet$] si $m<0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
%\end{itemize}
%
%\begin{center}
% \pdfrowcolors{}
%\begin{tabular}{cc}
%\begin{minipage}{6cm}
%\begin{center}
%$$m>0$$
%\pdfrowcolors{}
%\begin{tabular}{|c|ccc|}
%\hline
%$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
%\hline
% & & & \\
%$f(x)$ & & $\nearrow$ & \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{minipage}
%&
%\begin{minipage}{6cm}
%\begin{center}
%$$m<0$$
%\rowcolors{1}{}{}
%\begin{tabular}{|c|ccc|}
%\hline
%$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
%\hline
% & & & \\
%$f(x)$ & & $\searrow$ & \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{minipage}
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] Si $m>0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ augmente,\\
%c'est à dire 
%que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)<f(x_2)$.\\
%Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$.\\ 
%Alors $mx_1< mx_2$ et $mx_1+p< mx_2+p$\\
%c'est à dire $f(x_1)< f(x_2)$ donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ; +\infty[$ ;
%\item[$\bullet$] Si $m=0$, pour tout $x$ réel, $f(x)=b$ donc $f$ est constante égale à $b$ ;
%\item[$\bullet$] si $m<0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ diminue,\\
%c'est à dire 
%que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)>f(x_2)$.\\
%Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$.\\
%Alors on a $mx_1> mx_2$ puis $mx_1+p> mx_2+p$\\
%c'est à dire $f(x_1)>f(x_2)$
%donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; +\infty[$.
%\end{itemize}
%\end{sanscadre}
%
%\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir reconnaître les variations d'une fonction affine dont l'écriture algébrique est donnée]}
%On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3-2x$.\\
%$f(x)=3+(-2x)=-2x+3$ donc $m=-2$.\\
%Comme $m<0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$.
%\end{sanscadre}
%
%\newpage
%
%
%\subsection{Signe}
% Si $m\neq0$, les deux cas possibles sont résumés dans les tableaux de signe suivants :
%\begin{center}
% \pdfrowcolors{}
% \begin{tabular}{cc}
%si $m>0$ :
%&
%si $m<0$ :
%\\
%\begin{minipage}{7cm}
%\begin{center}
%\pdfrowcolors{}
%\begin{tabular}{|c|lcccr|}
%\hline
%$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{p}{m}$ & & $+\infty$ \\
%\hline
%signe & & & & & \\
%de & & - & 0 & + & \\
%$mx+p$ & & & & & \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{minipage}
%&
%\begin{minipage}{7cm}
%\begin{center}
%\pdfrowcolors{}
%\begin{tabular}{|c|lcccr|}
%\hline
%$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{p}{m}$ & & $+\infty$ \\
%\hline
%signe & & & & & \\
%de & & + & 0 & - & \\
%$mx+p$ & & & & & \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{minipage}
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%$f(x)>0$ signifie $mx+p>0$\\
%c'est à dire $mx>-p$ ou encore\\
%si $m<0$, $x<-\frac{p}{m}$\\
%et, si $m>0$, $x>-\frac{p}{m}$.\\
%D'où les tableaux de signe.
%\end{sanscadre}
%
%\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir dresser le tableau de signe d'une fonction affine]}
%Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x+3$.\\
%\begin{itemize}
%\nouvitem On résout l'équation $f(x)=0$ pour savoir pour quelle valeur de $x$, $f(x)$ s'annule  :\\
%$f(x)=0$ équivaut à $-2x+3=0$ c'est à dire à $-2x=-3$ donc $x=\frac{-3}{-2}$ ou encore $x=\frac{3}{2}$.\\
%\nouvitem On dresse le tableau de signe :\\
%\pdfrowcolors{}
%\begin{tabular}{|c|ccccc|}
%\hline
%$x$ & $-\infty$ & & $\frac{3}{2}$ & & $+\infty$ \\
%\hline
%$f(x)$ & & + & 0 & - &  \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{itemize}
%\end{sanscadre}

%
%\section{Proportionnalité des accroissements}
%
%\begin{encadrer}{Propriété}
%Soit une fonction affine $f$ définie par $f(x)=mx+p$ de représentation graphique $(d)$ dans un repère du plan.
%Alors l'accroissement de la variable $x$ est proportionnel à l'accroissement des images $f(x)$ et le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur $m$ de la fonction affine c'est à dire que pour tous les points $A$ et $B$ de la droite $(d)$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$ on a :
%$$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
%et
%$$p=y_A-ax_A$$
%\end{encadrer}
%
%\begin{sanscadre}{Preuve}
%On a $y_B-y_A=f(x_B)-f(x_A)=mx_B+p-(mx_A+p)=mx_B-mx_A+p-p=m(x_B-x_A)$.
%
%D'où la proportionnalité entre les accroissements des $x$ et des $f(x)$ et la première formule.
%
%Par ailleurs, $A(x_A;y_A)$ appartient à la droite donc $y_A=mx_A+p$ d'où $p=y_A-mx_A$ et la deuxième formule.
%\end{sanscadre}
%
%\begin{sanscadre}{Exemples d'utilisations}
%\begin{itemize}
%\nouvitem[\textbf{Savoir déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine connaissant deux points de sa représentation graphique}]\\
%Soit $f$ une fonction affine telle que $f(1)=5$ et $f(3,5)=15$.\\
%$f$ est affine donc de la forme $f(x)=mx+p$ pour tout $x$ réel où $m$ et $p$ sont deux nombres réels à déterminer et $A(1;5)$ et $B(3,5;15)$ sont deux points de la droite représentant $f$.
%
%On $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{15-5}{3,5-1}=\frac{10}{2,5}=4.$\\
%Donc $f(x)$ s'écrit $f(x)=4x+p$ pour tout réel $x$.\\
%En outre on sait que $A(1;5)$ appartient à la droite donc $p=5-4\times 1=1$ (on aurait tout aussi bien pu utiliser le point $B$).\\
%Finalement, $f(x)=4x+1$.
%\nouvitem[\textbf{Savoir tracer la représentation graphique d'une fonction affine en utilisant les coefficients $m$ et $p$}]\\
%Soit $f$ la fonction affine dont la droite $\mathcal{D}$ qui la représente dans un repère passe par le point $A$ de coordonnées $(-2;-3)$ et dont le nombre $m$ dans l'écriture $f(x)=mx+p$ vaut $p=2$. Alors si on avance de 1 unité en abscisse (autrement dit si $x_B-x_A=1$), pour retrouver un point de la droite $\mathcal{D}$ on doit augmenter de 2 en ordonnées pour retrouver un point $B$ de la droite ($y_B-y_A=2$).
%\end{itemize}
%\end{sanscadre}
%
%\begin{center}
%\includegraphics[width=8cm]{fonctionsreferencesimgaffinecoeff.png}
%\end{center}

\end{document}
