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\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\title{\'Etude de variations et de signes de fonctions, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Etudes de variations et de signes de fonctions - 2nde}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\pdfrowcolors{lightgray}


\section{Propriétés sur les inégalités (rappel) }



\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, alors :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $a\leq b$ si et seulement si $a-b$ est négatif;
\item[$\bullet$] $a \geq b$ si et seulement si $a-b$ est positif.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriétés }
Soient $a$, $b$, $c$ trois nombres réels :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] 
    \begin{itemize}
     \item[] si $a\leq b$ alors $a+c\leq b+c$,
      \item[] c'est à dire que \emphref{le sens de l'inégalité ne change pas} 
      \item[]lorsque l'\emphref{on ajoute le même nombre} dans les deux membres ;
    \end{itemize}
\item[$\bullet$] 
    \begin{itemize}
    \item[] si $a\leq b$ et $c>0$ alors $ac\leq bc$,
    \item[] c'est à dire que \emphref{le sens de l'inégalité ne change pas} 
    \item[] lorsque l'on \emphref{multiplie les deux membres} de l'inégalité par un \emphref{même nombre strictement positif} ;
  \end{itemize}
\item[$\bullet$] 
    \begin{itemize} 
    \item[] si $a\leq  b$ et $c<0$ alors $ac\geq bc$,
    \item[] c'est à dire que le sens de l'inégalité change 
    \item[] lorsque l'on \emphref{multiplie les deux membres} de l'inégalité par le \emphref{même nombre strictement négatif}.
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ alors $a-b\leq 0$ c'est à dire $a+c-c-b\leq 0$ donc $a+c-(b+c)\leq 0$ c'est à dire $a+c\leq b+c$ ;
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c>0$ alors $a-b\leq 0$ et $c(a-b)\leq 0$ donc $ca-cb\leq 0$ c'est à dire $ac\leq bc$.
\item[$\bullet$] si $a\leq b$ et $c<0$ alors $a-b\leq 0$ et $c(a-b)\geq 0$ donc $ca-cb\geq 0$ c'est à dire $ac\geq bc$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Variations de fonctions, définition et étude graphique}


\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite \emphref{croissante} sur l'intervalle $I$ lorsque pour tous $x_1$ et $x_2$ réels appartenant à $I$, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1)\leq f(x_2)$, c'est à dire que $f$ \emphref{ne change pas} l'ordre des inégalités.
\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite \emphref{décroissante} sur l'intervalle $I$ lorsque pour tous $x_1$ et $x_2$ réels appartenant à $I$, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1)\geq f(x_2)$, c'est à dire que $f$  \emphref{change}  l'ordre des inégalités.

\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dite \emphref{monotone} sur l'intervalle $I$ lorsqu'elle est croissante sur $I$, ou lorsqu'elle est décroissante sur $I$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
Fonction croissante & Fonction décroissante \\
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionsgeneralitescoursimgfonctioncroissante.png} &
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionsgeneralitescoursimgfonctiondecroissante.png}\\
\end{tabular}
\end{center}



\begin{encadrer}{Synthèse}
Pour résumer les variations d'une fonction $f$ on utilise un \emphref{tableau de variations} dans lequel apparaissent les intervalles sur lesquels la fonction est monotone.
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{8cm}
\textbf{Exemple [Dresser le tableau de variations d'une fonction par lecture graphique] :}\\

On considère la fonction $g$ ci-contre.\\
La fonction semble, d'après la représentation graphique, admettre le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccc|}
\hline
$x$ & 0 & & 2 & & 8 \\
\hline
$g(x)$ & 32 & & & & 32 \\
 & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & &  & 28 & & \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{fonctionExemplegGraphique.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\newpage

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Soit $x_0$ un réel de l'intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ admet un \emphref{maximum} $M$ en $x_0$ sur l'intervalle $I$ lorsque:
	\begin{itemize}
	\item[$\blacktriangleright$] $M=f(x_0)$ ;
	\item[$\blacktriangleright$] pour tout nombre $x$ de $I$ $f(x)\leq M$.
	\end{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction $f$ admet un \emphref{minimum} $m$ en $x_0$ sur l'intervalle $I$ lorsque :
	\begin{itemize}
	\item[$\blacktriangleright$] $m=f(x_0)$ ;
	\item[$\blacktriangleright$] pour tout nombre $x$ de $I$ $f(x)\geq m$.
	\end{itemize}
\item[$\bullet$] On dit que la fonction $f$  admet un \emphref{extremum} sur $I$ si elle admet un maximum ou un minimum.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}

La fonction $g$ précédente semble admettre 28 comme minimum et 64 comme maximum.
\end{sanscadre}

\section{Variations des fonctions de référence}

\subsection{Fonction carré}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem La fonction carré est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ ;
\nouvitem La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty; 0]$.
\end{itemize}
\end{encadrer}



\begin{sanscadre}{Preuve}

\begin{itemize}
 \nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $0\leq x_1 < x_2$.\\
 En multipliant par $x_1>0$ les deux membres de l'inégalité, on obtient $0\leq x_1^2< x_2x_1$.\\
 En multipliant par $x_2>0$ les deux membres de l'inégalité, on obtient $0\leq x_1x_2< x_2^2$.\\
 D'où finalement, $0\leq x_1^2< x_2^2$.
 \nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1< x_2\leq 0$.\\
 En multipliant par $x_1<0$ les deux membres de l'inégalité, on obtient $x_1^2 < x_1x_2\geq 0$.\\
 En multipliant par $x_2<0$ les deux membres de l'inégalité, on obtient $x_1x_2 < x_2^2\geq 0$.\\
 D'où finalement $x_1^2< x_2^2\geq 0$.

\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection{Fonction cube}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem La fonction cube est strictement croissante sur $]-\infty ;+\infty[$.
\nouvitem La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Admis
\nouvitem 
Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels positifs tels que $x_1<x_2$. Alors  $x_2-x_1>0$ .\par
\noindent Or, $\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}=\frac{(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1})(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1})}{(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1})}=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}$ d'après l'identité $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$\\
Comme $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}>0$ et $x_2-x_1>0$\\
on a donc $\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}>0$\\
c'est à dire $\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1}$\\
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection{Fonction inverse}

\begin{encadrer}{Propriété}
La fonction inverse est :
\begin{itemize}
\nouvitem strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ ;
\nouvitem strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
\end{itemize}
\end{encadrer}



\begin{sanscadre}{Preuve}
On remarque d'abord $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{x_1}{x_1x_2}-\frac{x_2}{x_1x_2}=\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}$
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels tels que $0<x_1< x_2$ donc tels que $x_1-x_2< 0$. Comme $x_1x_2>0$ et $x_1-x_2< 0$ on a donc $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}< 0$ donc $\frac{1}{x_1}> \frac{1}{x_2}$. 
\nouvitem Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels tels que $x_1<  x_2<0$ donc tels que $x_1-x_2< 0$. Comme $x_1x_2>0$ et $x_1-x_2< 0$, on a donc $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}< 0$ donc $\frac{1}{x_1}> \frac{1}{x_2}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection{Fonctions affines}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a>0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
\item[$\bullet$] si $a=0$ alors la fonction $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ ;
\item[$\bullet$] si $a<0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
$$a>0$$
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & \\
$f(x)$ & & $\nearrow$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
$$a<0$$
\rowcolors{1}{}{}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\
\hline
 & & & \\
$f(x)$ & & $\searrow$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a>0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ augmente,\\
c'est à dire 
que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)<f(x_2)$.\\
Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$.\\ 
Alors $ax_1< ax_2$ et $ax_1+b< ax_2+b$\\
c'est à dire $f(x_1)< f(x_2)$ donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ; +\infty[$ ;
\item[$\bullet$] Si $a=0$, pour tout $x$ réel, $f(x)=b$ donc $f$ est constante égale à $b$ ;
\item[$\bullet$] si $a<0$, il s'agit de montrer que si $x$ augmente, alors $f(x)$ diminue,\\
c'est à dire 
que si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)>f(x_2)$.\\
Soient donc $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$.\\
Alors on a $ax_1> ax_2$ puis $ax_1+b> ax_2+b$\\
c'est à dire $f(x_1)>f(x_2)$
donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; +\infty[$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir reconnaître les variations d'une fonction affine dont l'écriture algébrique est donnée]}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3-2x$.\\
$f(x)=3+(-2x)=-2x+3$ donc $a=-2$. Comme $a<0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$.
\end{sanscadre}


\section{Exemples d'étude algébrique de maximum ou de minimum}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir démontrer que l'on a un minimum ou un maximum sur un intervalle]}
 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par $f(x)=-3x^2+2$.\\
Montrons que 2 est un maximum pour la fonction $f$ sur $[0;10]$.\\
On a d'abord $f(0)=2$.\\
En outre, pour tout réel $x$ de l'intervalle, $f(x)-2=-3x^2+2-2=-3x^2$.\\
Or si $x$ est positif, alors $-3x^2$ est négatif.\\
Donc $f(x)-2\leq 0$.\\
Ce qui montre que $f(x)\leq 2$.\\
D'où 2 est un maximum pour la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Signe de fonctions, définition et étude graphique}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{positive} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\geq 0$ ;
\nouvitem \emphref{négative} sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\leq 0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Dresser le tableau de signe d'une fonction par lecture graphique]}


\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{signesfonctionimg.png}
\end{center}

 Pour visualiser le signe d'une fonction, on utilise un \emphref{tableau de signes} :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
 \hline
$x$& -3 & & -2 & & 1 & & 4 & & 6 \\
\hline 
$f(x)$ & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + &  \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage




\end{document}
