Généralités fonctions, cours, classe de 2nde
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I - Notions Fondamentales sur les fonctions
Définition :
- Une fonction est un procédé qui ____ permet d'associer à tout nombre x, élément d'un ensemble E de départ, un nombre unique noté f(x).
- L'ensemble E est ____l'ensemble de définition de la fonction f.
- Le nombre f(x) est appelé ____l'image du nombre x par la fonction f.
- Le nombre x est appelé ____antécédent du nombre f(x).
Exemples :[Calcul d'images et d'antécédents par une fonction]
- Soit g la fonction définie pour tout réel x par $g(x)=x^2-4x+32$.
Calcul de $g(-5)$ :
____$g(-5)=(-5)^2-4\times(-5)+32=25+20+32=77$.
-5 a donc pour image ____77 par la fonction g ce qui signifie aussi que -5 est un ____antécédent de ____77 par la fonction g.
- Recherche du ou des antécédents de 6 par la fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par $h(x)=3x+5$.
Un réel $x$ est un antécédent de 6 par $h$ si et seulement si ____$h(x)=6$ c'est à dire $3x+5=6$
donc $3x=1$ c'est à dire $x=\frac{1}{3}$.
$\frac{1}{3}$ est donc l'unique antécédent de 6 par la fonction $h$.
Définition :
Pour présenter des nombres et leurs images par une fonction, on utilise un ____tableau de valeurs.
Exemple : [Construire un tableau de valeurs]
Pour la fonction g définie par $g(x)=x^2-4x+32$ :
_____
II - Représentation graphique
Défintion : courbe représentative
- Soit f une fonction définie sur un ensemble E de $\mathbb{R}$.
On appelle courbe représentative de f l'ensemble des points M du plan de coordonnées _____(x ; f(x)) dans un repère du plan avec x parcourant l'ensemble de définition E.
- Un point M de coordonnées (x ; y) appartient donc à la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient ____ l'équation y = f(x) appelée ____ équation de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction f.
Exemple :
Ci-dessous, la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction g définie par $g(x)=x^2-4x+32$ sur l'intervalle [0 ; 8].
Propriété : lectures graphiques
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction f.
- L'image f(x) d'un nombre x par f se lit sur l'axe des _____ ordonnées : c'est ______ l'ordonnée du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées $(x;0)$.
- Les antécédents, s'il en existe, de tout nombre y par f se lisent sur l'axe des _____ abscisses : ce sont les ______ abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0;y)$.
Exemple :[Lire graphiquement des images et des antécédents]
Sur la courbe ci-dessus représentant la fonction g :
- L'image de 1 est ____29;
- 32 a deux antécédents qui sont ____0 et 4 ;
III - Résolutions graphiques d'équations
Définition :
Soit k un nombre réel, f une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère.
Les solutions de l'équation f(x) = k sont ____ les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0 ; k).
Exemple : [Lire graphiquement les solutions d'une équation]
Ci-dessus, les solutions de l'équation f(x) = -0,5 sont environ ____ -2,5 ; 2,5 et 3 par lecture graphique.
Propriété : résolution graphique d'équation avec deux fonctions
Soient f et g deux fonctions et $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur représentation graphique dans un repère.
Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les ____abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de $\mathcal{C}_g$.
Exemple :
Ci-dessus, $\mathcal{C}_f$ est la courbe bleue et $\mathcal{C}_g$ est la courbe verte.
L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ semble être par lecture graphique ____{-3;1}.