Résolutions d'inéquations et signe de fonctions, cours, 2nde

Soit k un nombre réel, f une fonction et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère.
Les solutions de l'équation $f(x)\leq k$ sont les ___

Exemple :

Propriété : résolution graphique d'inéquation avec deux fonctions

Soient f et g deux fonctions et $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur représentation graphique dans un repère.
Les solutions de l'inéquation $f(x)\leq g(x)$ sont les ___

Exemple :

II - Signe d'une fonction

Définition : signe d'une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est :

positive sur I si pour tout réel x de I,___
$f(x)\geq 0$ ;
négative sur I si pour tout réel x de I, ___
$f(x)\leq 0$.

Exemple :

Cas particulier : étude du signe des fonctions affines

Si $a\neq 0$, les deux cas possibles sont résumés dans les tableaux de signes suivants :

Si $a$ est positif :

$x$	$-\infty$		$\frac{-b}{a}$		$+\infty$
$ax+b$		-	0	+

Si $a$ est négatif :

$x$	$-\infty$		$\frac{-b}{a}$		$+\infty$
$ax+b$		+	0	-

Preuve :

Si $a$ est positif, $f(x)>0$ équivaut à $ax+b>0$
c'est à dire à $ax>-b$.
avec $a>0$, cela équivaut encore à $x>\frac{-b}{a}$ d'où le premier tableau de signe.
Si $a$ est négatif $f(x)>0$ équivaut à $ax+b>0$
c'est à dire à $ax>-b$.
Avec $a< 0$, cela équivaut à $x< \frac{-b}{a}$. D'où le second tableau de signe.

Exemple : [Savoir dresser le tableau de signe d'une fonction affine]

On résout l'équation $f(x)=0$ pour connaître la valeur de $x$ qui annule $f(x)$ :
$f(x)=0$ équivaut à $-2x+3=0$ c'est à dire $-2x=-3$ donc $x=\frac{-3}{-2}$ donc $x=\frac{3}{2}$.
On dresse le tableau de signe de $f$ :

$x$ $-\infty$ $\frac{3}{2}$ $+\infty$

$ax+b$ + 0 -

Résolutions d'inéquations et signe de fonctions, cours, classe de 2nde

I - Résolutions graphiques d'inéquations

Propriété : résolution graphique d'inéquations

Exemple :

Propriété : résolution graphique d'inéquation avec deux fonctions

Exemple :

II - Signe d'une fonction

Définition : signe d'une fonction

Exemple :

Cas particulier : étude du signe des fonctions affines

Preuve :

Exemple : [Savoir dresser le tableau de signe d'une fonction affine]

`x`	-3		-2		1		4		6
`f(x)`		-	0	+	0	-	0	+