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Repérage dans le plan, cours, 2nde

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I - Coordonnées dans un repère du plan

Définition et propriété :

A tout point M du plan, on associe un unique couple

$(x;y)$ de nombres réels appelés couple de coordonnées du point M dans le repère

$(O;I;J)$ .

$x$ est appelé ____ abscisse du point M ;
$y$ est appelé ____ ordonnée du point M.

Milieu d'un segment

Propriété : milieu d'un segment

Soient A et B deux points de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ d'un repère $(O;I;J)$ .
Alors le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées :

____

$x_K=\frac{x_A+x_B}{2}$

et ____

$y_K=\frac{y_A+y_B}{2}$

Exemples :

Soient A (5 ; 7) et B (-3 ; 2). Alors le milieu K de [AB] a pour coordonnées : ____

$x_K=\frac{x_A+x_B}{2}$	$y_K=\frac{y_A+y_B}{2}$
$x_K=\frac{5+(-3)}{2}$	$y_K=\frac{7+2}{2}$
$x_K=1$	$y_K=\frac{9}{2}$

Soient A (2 ; -1) et K (4 ; 2). Le point B tel que K est le milieu de [AB] vérifie : ____

$x_K=\frac{x_A+x_B}{2}$	$y_K=\frac{y_A+y_B}{2}$
$4 =\frac{2+x_B}{2}$	$2=\frac{-1+y_B}{2}$
$8=2+x_B$	$4 = -1 + y_B$
$6 =x_B$	$5 = y_B$

Algorithme :

Algorithme de calcul des coordonnées du milieu de [AB] où A et B sont deux points de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :

____

Entrées :

$x_A$ ,

$y_A$ ,

$x_B$ et

$y_B$
Début traitement :

$x_K$ prend la valeur

$\frac{x_A+x_B}{2}$

$y_K$ prend la valeur

$\frac{y_A+y_B}{2}$
Fin
Sorties :

$x_K$ ,

$y_K$

Distance entre deux points dans un repère orthonormé

Définition : Racine carrée d'un nombre positif

Soit a un réel positif. On appelle racine carrée de a le nombre réel positif ____dont le carré vaut a. On le note ____ $\sqrt{a}$ . On a donc ____ $\sqrt{a}\geq 0$ et $\sqrt{a}^2=a$ .

Exemples :

$\sqrt{144}=12$ ;
$\sqrt{2}$ n'a pas de valeur décimale finie. Une valeur approchée est ____ $\sqrt{2}\approx 1,41$ .

Propriété :

On a ____

$\sqrt{a^2}=a$ .

Propriété :

Pour tous les réels

$a$ et

$b$ ,

____ $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
____ si $b\neq 0$ , $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Exemple :

Simplification de racines carrées

$\sqrt{90}=$ ____

$\sqrt{9\times 10}=\sqrt{9}\sqrt{10}=3\sqrt{10}$

Propriété : distance entre deux points

On considère deux points A et B de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ dans un repère $(O;I;J)$ orthonormé.
Alors la distance AB est donnée par :

____

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

ce qui s'écrit aussi :

$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Exemple :

On considère les points A(8 ; -2) et B(-2 ; 5). Alors la distance AB est :

____

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
$AB=\sqrt{(-2 - 8)^2+(5 - (-2))^2}$
$AB=\sqrt{(-10)^2+7^2}$
$AB=\sqrt{149}$

Algorithme :

Algorithme de calcul de la distance entre deux points A et B de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ :

____

Entrées :

$x_A$ ,

$y_A$ ,

$x_B$ et

$y_B$
Début traitement :
d prend la valeur

$\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Fin
Sortie :d

Entrer xA
Entrer yA
Entrer xB
Entrer yB

Entrer xA
Entrer yA
Entrer xB
Entrer yB