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\title{Produit d'un vecteur par un nombre réel, cours pour la classe de seconde}


\author{F.Gaudon}

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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Produit d'un vecteur par un nombre réel, cours pour la classe de seconde}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Produit d'un vecteur par un nombre réel}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. Soit $\vec{u}$ un vecteur de coordonnées $(x;y)$ dans ce repère. Soit $k$ un nombre réel. On appelle \emphref{vecteur produit de $\vec{u}$ par $k$}, le vecteur de coordonnées $(kx; ky$ dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple [Calculer les coordonnées d'un vecteur]}
Soient $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;5)$. Soit $\vec{w}=-6\vec{u}+5\vec{v}$.\\
Alors $-6\vec{u}$ a pour coordonnées $(-12;-18)$\\
et $5\vec{v}$ a pour coordonnées $(20;25)$.\\
D'où $\vec{w}(-12+20;-18+25)$ donc $\vec{w}(8;7)$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Calculer les coordonnées d'un point vérifiant une égalité vectorielle]}
Soient $A(3;-5)$ et $B(1;4)$.\\
On considère le point $M$ tel que $4\vec{MA}=5\vec{AB}$.\\ 
$\bullet$ On a d'une part, $\vec{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ donc $\vec{AB}(1-3;4-(-5))$ c'est  à dire $\vec{AB}(-2;9)$.\\
D'où $5\vec{AB}(-10;45)$.\\
$\bullet$ D'autre part, $\vec{MA}(3-x_M;-5-y_M)$ d'où $4\vec{MA}(4(3-x);4(-5-y_M))$ donc $4\vec{MA}(12-4x;-20-4y_M)$\\
$\bullet$ De $3\vec{MA}=5\vec{AB}$ on déduit donc :\\
$12-4x=-10$ et $-20-4y_M=45$.\\
D'où $-4x=-22$ et $-4y_M=65$\\
et $x_M=\frac{22}{4}$ et $y_M=\frac{-65}{4}$
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $k$, $k'$ deux nombres réels et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $k\vec{u}+k'\vec{u}=(k+k')\vec{u}$
\item[$\bullet$] $k(k'\vec{u})=(kk')\vec{u}$
\item[$\bullet$] $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$
\nouvitem $k\vec{u}=0$ si et seulement si $k=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{sanscadre}{Preuve}
 Soient $(x;y)$  les coordonnées de $\vec{u}$ dans $(O;\vec{i};\vec{j})$. Alors le vecteur $k\vec{u}$ a par définition pour coordonnées $(kx;ky)$, le vecteur $k'\vec{u}$ a pour coordonnées $(k'x;k'y)$, le vecteur $k\vec{u}+k'\vec{u}$ a donc pour coordonnées $(kx+k'x;ky+k'y)$ ce qui s'écrit aussi $((k+k')x;(k+k')y)$. On reconnaît les coordonnées de $(k+k')\vec{u}$ ce qui démontre la première propriété. Les autres propriétés se démontrent de la même manière. 
\end{sanscadre}

\newpage



\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem [Simplification de l'expression d'un vecteur pour placer un point] :\\
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.\\
$3(\vec{u}+2\vec{v})-5\vec{u}+3\vec{v}=3\vec{u}+6\vec{v}-5\vec{u}+3\vec{v}$\\
$=3\vec{u}+6\vec{v}-5\vec{u}+3\vec{v}$\\
$=-2\vec{u}+9\vec{v}$\\
\nouvitem [Simplification de l'expression d'un vecteur pour permettre le placement d'un point] \\
 Soient $A$, $B$ et $C$ trois points et $\vec{u}$ tel que $\vec{u}=3\vec{AC}+3\vec{CB}-\vec{BA}.$\par
Alors :\\
$\vec{u}=3(\vec{AC}+\vec{CB})-\vec{BA}$\\ 
donc $\vec{u}=3\vec{AB}-\vec{BA}$\\
d'où $\vec{u}=3\vec{AB}+\vec{AB}$\\ 
et $\vec{u}=4\vec{AB}$.\\
Ceci permet de tracer simplement le vecteur $\vec{u}$.
\nouvitem [Simplification de l'expression d'un vecteur pour permettre le placement d'un point]\\ Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. Soit $M$ le point défini par : $\vec{AM}=3\vec{BC}-2\vec{AC}$.
Exprimons $\vec{AM}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :\\
$\vec{AM}=3(\vec{BA}+\vec{AC})-2\vec{AC}$\\ 
$=3\vec{BA}+3\vec{AC}-2\vec{AC}$\\
$=3\vec{BA}+\vec{AC}$\\
$=-3\vec{AB}+\vec{AC}$
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Traduction vectorielle de propriétés géométriques}

\subsection{Milieux de segments}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points. $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si $\vec{AI}=\vec{IB}$ si et seulement si $\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AB}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Immédiat
\end{sanscadre}


\subsection{Alignement et parallélisme}
\pdfrowcolors{lightgray}
\defref{colinearite}{}
\begin{encadrer}{Définition}
Deux vecteurs non nuls sont \emphref{colinéaires} si il existe un réel $k$ non nul tel que $\vec{v}=k\vec{u}$.
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{sanscadre}{Remarque}
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si ils ont la même direction.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple} 
[Déterminer si deux vecteurs de coordonnées données sont colinéaires]\\
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de coordonnées respectives $(5;-3)$ et $(-15;9)$ dans un repère.\\
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires car $\vec{v}=-3\vec{u}$ ou $\vec{u}=-\frac{1}{3}\vec{v}$.
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{7cm}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{vecteurscours2ndefig4.png}
\end{center}
\end{minipage}

\end{tabular}


\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts . $A$, $B$ et $C$ sont alignés  si et seulement si il existe un nombre réel $k\neq 0$ tel que $\vec{AB}=k\vec{AC}$ ;
\item[$\bullet$] Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{déterminant} de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de coordonnées $(x_{\vec{u}};y_{\vec{u}})$ et $(x_{\vec{v}};y_{\vec{v}})$ le nombre $$x_{\vec{u}}y_{\vec{v}}-y_{\vec{u}}x_{\vec{v}}$$
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $\vec{u}(x_{\vec{u}};y_{\vec{u}})$  et $\vec{v}(x_{\vec{v}};y_{\vec{v}})$ deux vecteurs non nuls dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles si et seulement si le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est égal à 0 c'est à dire si et seulement si $$x_{\vec{u}}y_{\vec{v}}-x_{\vec{v}}y_{\vec{u}}=0$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple [Déterminer si des vecteurs sont colinéaires]}
Soient $A$ et $B$ les points de coordonnées $(1 ; 3)$ et $(2 ; 1)$ dans un repère. Soit $\vec{v}$ le vecteur de coordonnées $(4;3)$. $\vec{AB}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?\\
$\vec{AB}$ a pour coordonnées $(2-1;1-3)$ donc $(1;-2)$.\\
On a $x_{\vec{AB}}y_{\vec{v}}-x_{\vec{v}}y_{\vec{AB}}=1\times3-4\times(-2)=3+8=11\neq 0$\\
donc les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
\end{sanscadre}


\end{document}

