
\documentclass[12pt]{article}

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% environnements pour propriétés, théorèmes, exemples...
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\title{Proportions, cours, classe de 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Proportions, cours, classe de seconde}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Proportions, cours, 2nde}}
\end{center}


\section{Notion de proportion}



\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On considère un ensemble $E$ aussi appelé population et un sous ensemble A de E aussi appelé sous population.

La \emphref{proportion} $p_A$ (\emphref{fréquence}) d'une sous population $A$ de $n_A$ éléments dans une population $E$ de $n_E$ éléments est le nombre 
$$p_A=\frac{n_A}{n_E}$$

\end{encadrer}
}
\begin{sanscadre}{Exemple}
La population E constituée par l'ensemble des élèves  d'une classe contient des sous populations : l'ensemble A des élèves demi-pensionnaires et l'ensemble B des élèves faisant de l'anglais par exemple.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{proportionspourcentagescours1STGimg1.PNG}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère la population $E$ des 3250 montres fabriquées en une journée par une entreprise. On a $n_E=3250$. La sous population $A$ des 625 montres pour enfants a $n_A=625$ éléments. La proportion de montres pour enfants par rapport à l'ensemble des montres fabriquées est $p_A=\frac{n_A}{n_E}=\frac{625}{3250}\approx 0,19$ soit 19 \% environ. 
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem Une proportion est un nombre toujours compris entre 0 et 1.
\nouvitem Les proportions s'expriment sous la forme d'une fraction ou d'un nombre décimal ou bien encore d'un pourcentage.
\nouvitem Avec la formule $p_A=\frac{n_A}{n_E}$ on obtient $n_A=p_A\times n_E$ et  $n_E=\frac{n_A}{p_A}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère la population des objets produits en une journée par une entreprise. 20 objets étaient défectueux et ils constituaient 2,5 \% de l'ensemble des objets produits dans la journée.\\
On a donc $p_A=0,025$, $n_A=20$ et on cherche $n_E$. D'où $n_E=\frac{20}{0,025}\approx 800$.
\end{sanscadre}



\section{Proportions échelonnées}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{proportionspourcentagescours1STGimg2.PNG}
\end{center}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $A$ une partie d'une population $E$ et $F$ une partie de $A$. Alors la proportion d'éléments de $F$ qui sont dans $E$ est le produit de la proportion d'éléments de $A$ qui sont dans $F$ et de la proportion  d'éléments de $E$ qui sont dans $A$.

\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Dans un lycée, 20\% des élèves sont en première et 40\% des première sont demi-pensionnaires.\\
$\frac{20}{100}\frac{40}{100}=0,08$ donc 8\% des élèves sont en première et demi-pensionnaires parmi l'ensemble des élèves du lycée.
\end{sanscadre}


\end{document}