<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{15cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\title{Simulations et probabilités - cours - 2nde}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\small Simulations et probabilités}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
 {\LARGE \textbf{Simulations et probabilités, cours de seconde}}
\end{center}



\section{Simulation d'expériences aléatoires}
\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem Une expérience est dite ........................... lorsqu'elle a plusieurs issues aussi appelées \emphref{éventualités} possibles dont on ne peut pas prévoir laquelle sera réalisée.
\nouvitem L'ensemble de toutes les éventualités constitue ......................... de tous les possibles.
\nouvitem On appelle ............................. un ensemble de valeurs issues de réalisations d'une expérience aléatoire.
\nouvitem L'effectif d'un échantillon est appelé sa ................ .
\nouvitem On appelle ...................... ......................... liée à un échantillon, la donnée des différentes valeurs de cet échantillon et des fréquences associées à cet échantillon.
\nouvitem on appelle ................................ ................... la variation des distributions de fréquence en fonction de l'échantillon choisi d'une population.
\nouvitem ........................... une expérience aléatoire, c'est la remplacer par une autre expérience aléatoire dont les distributions de fréquences qu'elle donnerait pour un grand nombre de tirages serait proches.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{itemize}
\nouvitem Le lancer d'un dé à six faces constitue une expérience aléatoire d'issue $x_i$ pour $i$ allant de 1 à 6 et correspondants à la sortie de la face $i$ du dé. Il y a donc ........ issues ou éventualités possibles.
\nouvitem En supposant qu'il naît autant de garçons que de filles, la naissance d'un garçon ou d'une fille peut être simulée par le lancer d'une pièce, le côté pile représentant la naissance d'un garçon et le côté face la naissance d'une fille.
\nouvitem
Une urne contient 5 boules indiscernables numérotées de 1 à 5. On tire une boule au hasard et on la remet dans l'urne. On effectue 100 tirages. On obtient ainsi un échantillon de taille ............ . On effectue 3 séries de 100 tirages. Des exemples de distribution de fréquences associées à chacun de ces tirages pourraient être les suivantes :

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&amp; 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 \\
\hline
A &amp; 0,2 &amp; 0,22 &amp; 0,15 &amp; 0,23 &amp; 0,2 \\
\hline
B &amp; 0,25 &amp; 0,12 &amp; 0,2 &amp; 0,18 &amp; 0,25 \\
\hline
C &amp; 0,18 &amp; 0,28 &amp; 0,15 &amp; 0,22 &amp; 0,17 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Utilisation des calculatrices et programmation en python}
\begin{itemize}
\nouvitem \textbf{[CASIO : ]} Appuyer sur la touche \fbox{OPT}, sélectionner le menu \fbox{PROB} (éventuellement le rechercher avec la touche \fbox{$\triangleright$}) puis la commande \fbox{Int} de ce menu. Compléter alors l'instruction \textbf{RanInt\#(1,n)} (attention à utiliser la touche \fbox{ , }) et appuyer sur la touche \fbox{EXE}.
\nouvitem \textbf{[TI : ]} Dans le menu \fbox{math}, sélectionner le menu \fbox{PRB}, puis la commande \textbf{entAléat(} de ce menu. Appuyer sur la touche \fbox{ENTER} et compléter l'instruction \textbf{entAléat(0,n)} (attention à utiliser la touche \fbox{ , }).
\nouvitem \textbf{[Numworks : ]} Appuyer sur la touche de la boîte à outils, puis sélectionner le menu Probabilités puis le menu Aléatoire puis sélectionner l'instruction randint(,) et compléter avec 0 et 1 pour obtenir randint(0,1).
\nouvitem \textbf{[Programmation python : ]} La fonction \texttt{random.randint(1,n)} permet de générer une nombre pseudo-aléatoire entre 1 et $n$. Pour l'utiliser, il faut écrire auparavant (de préférence en début de programme) \texttt{import random} qui importe en mémoire toutes les fonctions de gestion du hasard.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemples}
Pour simuler le lancer d'un dé à 6 faces non truqué, on peut utiliser la formule .................. .\\
Pour simuler une expérience aléatoire réussissant 45\% des fois, on peut .....\\
...\\ 
\end{sanscadre}

\section{Lois de probabilité}

\begin{encadrer}{Définition}
Pour toute expérience aléatoire d'issues possibles $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ avec $n$ entier naturel, on définit une \emphref{loi de probabilité} en leur associant $n$ nombres réels $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$ tels que :
\begin{itemize}
 \nouvitem pour tout $i$ allant de 1 à $n$, ..............................; 
\nouvitem ...............................
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On donne souvent la loi de probabilité sous la forme d'un tableau :\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
issues $x_i$ &amp; $x_1$ &amp; $x_2$ &amp; ... &amp; $x_n$ \\
\hline
probabilités $p_i$ &amp; $p_1$ &amp; $p_2$ &amp; ... &amp; $p_n$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété et définition (loi des grands nombres)}
Si on répète une expérience aléatoire d'univers $E=\{x_1;x_2;x_3;\ldots;x_n\}$ \og{}un grand nombre de fois\fg{}, alors ...................... ................. ................... ..................... .................. ................. .................... .................... ................
\end{encadrer}


\begin{sanscadresansflush}{Exemple}
On jette un dé 100 fois et on note la face apparue à chaque lancer. Si le 1 apparaît 12 fois la fréquence de sortie est $\frac{12}{100}=0,12$. On a $f_1+f_2+\ldots+f_6=.........$.

Si le nombre de lancers devient grand, les fréquences se stabilisent autour de ................, probabilité d'apparition du 1.
\end{sanscadresansflush}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Une pièce de monnaie est truquée de sorte que la probabilité d'obtenir pile est le double de celle d'obtenir face. On appelle $p_1$ la probabilité d'obtenir pile et $p_2$ celle d'obtenir face.\\
....\\
.....\\
.....\\
La loi de probabilité est donc :\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
issues &amp; ... &amp; ... \\
\hline
probabilités &amp;  ... &amp; ... \\
\hline
\end{tabular}
\end{sanscadre}



\section{Probabilités d'événements}

\begin{encadrer}{Définitions}
Soit $E$ l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. Soit $r$ le nombre d'issues de l'expérience.
\begin{itemize}
\nouvitem Un ensemble d'éventualités constitue un ............................... $A$. Un événement $A$ est donc une partie de l'univers.\par
Le nombre d'éventualités qui le constitue est appelé ............................. de $A$ et noté ..................
\nouvitem Tout événement formé d'une seule éventualité est appelé ............... .................
\nouvitem  $\emptyset$ est appelé ............... ...................
\nouvitem $E$ est l'événement ............. ...............
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Exemple}
lancer d'un dé à six faces :
\begin{itemize}
\nouvitem .................................... est un événement ;
\nouvitem .................................... est un événement élémentaire ;
\nouvitem .................................... est l'événement impossible. 
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}


\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\begin{onehalfspace}
\nouvitem Pour tout événement $A$, on a $.......... \leqslant P(A) \leqslant ...........$ ;
\nouvitem la probabilité d'un événement est ........................... des probabilités des issues qui le réalise ;
\nouvitem $P(\emptyset )=........$ ;
\nouvitem $P(E) = ........$ ;
\end{onehalfspace}
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\section{\'Equiprobabilité}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
Lorsque les $n$ issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité $p$ de se réaliser, on parle de ............... ............. ou ....................   ................... Alors $p=..............$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Pour le lancer d'un dé non truqué à six faces, chaque face ayant la même probabilité d'apparaître, la loi est équirépartie et chaque face $i$ a une probabilité $p_i$ d'apparaître égale à $p_i=............$
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété (cas d'une loi équirépartie)}
Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement $A$ est :
$$............$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple 1, utilisation d'un \emphref{tableau}}
Le tableau suivant montre la répartition des personnels d'une usine :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 &amp; Cadres &amp; Ouvriers &amp; Total \\
 \hline
 Hommes &amp; 100 &amp; 200 &amp; 300 \\
 \hline
 Femmes &amp; 50 &amp; 150 &amp; 200 \\
 \hline
 Total &amp; 150 &amp; 350 &amp; 500 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
\begin{onehalfspace}
On rencontre une personne au hasard. On note $H$ l'événement \og{}la personne rencontrée est un homme\fg{} et $C$ l'événement \og{} la personne rencontrée est un cadre\fg{}.\par 
\noindent Il y a ........... .............. car, la rencontre se faisant au hasard, toutes les personnes ont la même probabilité d'être rencontrées.\par
\noindent L'univers est constitué des ............... personnes de l'usine.\par
\noindent L'événement $H$ est constitué de ............ personnes.\par
\noindent  La probabilité de l'événement $H$ est donc $......$.\par
\noindent L'événement $C$ est constitué de .............. issues.\par
\noindent La probabilité de l'événement $C$ est donc $...........$.\par
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple 2, utilisation d'un arbre}
 Une urne contient 3 jetons rouges et 1 jeton vert indiscernables au toucher. On tire un jeton, on note sa couleur, on ne remet pas le jeton dans l'urne, on tire un deuxième jeton et on note sa couleur. On peut synthétiser la situation par l'arbre probabiliste suivant :
\begin{center}
 \includegraphics[width=9cm]{probabilitescoursimgarbre.png}
\end{center}
\begin{onehalfspace}
L'univers des possibles est constitué des ................... .................. qui apparaissent sur l'arbre précédent. Il y a ............... ............. car les jetons sont indiscernables. On appelle A l'événement "Obtenir deux jetons rouges". D'après l'arbre, cet événement est constitué de .......... éventualités donc la probabilité de l'événement A est $................$.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\section{Calculs avec des probabilités}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $A$ et $B$ deux événements.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem L'événement $A\cap B$ (lire "$A$ .......... $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois $A$ .......... $B$.
\nouvitem Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est à dire $A\cap B=.............$, on dit que $A$ et $B$ sont ........................... ou .....................
\nouvitem L'événement $A\cup B$ (lire "$A$ ........... $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent $A$ ........... $B$, c'est à dire .................... ............... des deux événements.
\nouvitem L'événement $\bar{A}$ appelé événement ................... ............. ou ............. .............. de $A$ est l'ensemble des issues qui .................. .................. .............. 
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété} 
Soit $P$ une loi de probabilité sur un ensemble $E$. 
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les événements $A$ et $B$, on a :
$$.............$$
\nouvitem Pour tout événement $A$, 
$$.................$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{probabilitescours2ndeimgvenn.png}
\end{center}


\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Dans le calcul de $P(A)+P(B)$, les probabilités élémentaires $p_i$ correspondants  à l'événement $A\cap B$ apparaissent deux fois pour obtenir $P(A\cup B)$, on les retrnche donc une fois ce qui revient à retrancher $P(A\cap B)$ à $P(A)+P(B)$ pour obtenir $P(A\cup B)$
\nouvitem On a $E=A\cup \bar{A}$ et $A\cap\bar{A}=\emptyset$ donc $A$ et $\bar{A}$ sont incompatibles et $P(E)=P(A\cup\bar{A})=P(A)+P(\bar{A})$. Or $P(E)=1$ donc $1=P(A)+P(\bar{A})$ d'où $P(\bar{A})=1-P(A)$.
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Chaque carte a la même probabilité $\frac{1}{32}$ d'être tirée. On appelle $C$ l'événement \og{} On tire un coeur\fg{} et $R$ l'événement \og{}On tire un roi\fg{}.\par
\begin{onehalfspace}
\noindent La probabilité $P(C)$ est $..................$.\\
 La probabilité $P(R)$ est $.......................$.\par
\noindent $R\cap C$ est l'événement ............\\
 Sa probabilité $P(R\cap C)$ est $.........................$.\par
\noindent $R\cup C$ est l'événement .......\\
Sa probabilité est $......$.\par
\noindent On enlève $...............$ afin de ne pas compter deux fois le roi de coeur.\par
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\end{document}





</pre></body></html>