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\title{Valeur absolue, cours, classe de seconde}



\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

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\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Valeur absolue, cours, 2nde}}
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\begin{center}
\Large{\textbf{Valeur absolue, cours, 2nde}}
\end{center}
\vspace{1cm}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{valeur absolue} d'un nombre $x$ et on note $|x|$ la \emphref{distance à zéro} du nombre $x$.
\end{encadrer}


\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ordrecours2ndeimgvaleurabsolue1.pdf}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $-|-\sqrt{16}|=-|-4|=-4$ ;
\item[$\bullet$] $|x|=\frac{3}{2}$ lorsque $x=\frac{3}{2}$ ou $x=-\frac{3}{2}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem La distance entre deux nombres $x$ et $y$ est égale à la valeur absolue de la différence entre les deux nombres $x$ et $y$ c'est à dire à $|x-y|$.
\nouvitem Soient $a$ et $x$ deux réels, ainsi qu'un réel positif $r$.\par
Alors $|x-a|\leq r$ si et seulement si $x\in [a-r;a+r]$. 
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Découle directement du fait que la valeur absolue est aussi la distance à zéro.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $|x-1|=2$ signifie $x=2+1$ ou $x=1-2$ c'est  à dire $x=3$ ou $x=-1$.
\nouvitem $|x-4|<3$ signifie $4-3<x<4+3$ c'est à dire $1<x<7$ ou $x\in[1;7]$ ;
\nouvitem $|x+2,5|<2$ signifie $|x-(-2,5)|<2$ c'est à dire $-2,5-2<x<-2,5+2$ donc $-4,5<x<-0,5$ ;
\nouvitem $|x-2|\leq 3$ équivaut à $-3\leq x-2\leq 3$ c'est à dire à $-3+2\leq x\leq 3+2$ ou encore $-1\leq x\leq 5$ c'est à dire encore $x\in[-1;5]$.
\end{itemize} 
\end{sanscadre}




\begin{encadrer}{Propriété}
Pour touts les réels $a$, $\sqrt{a^2}=|a|$.
\end{encadrer}

\end{document}
